En la imagen de Heisenberg, mi libro de texto dice que la siguiente matriz
$A = \frac{5}{3}\Sigma_1 + i\frac{4}{3}\Sigma_2$ no puede representar una cantidad física.
el libro dice que esto se debe a que $\frac{5}{3}\Sigma_1$ y $\frac{4}{3}\Sigma_2$ no pueden tener valores definidos.
Aquí, $\Sigma_1$ y $\Sigma_2$ representan matrices de Pauli.
Tengo curiosidad por saber a qué se debe. $\frac{5}{3}\Sigma_1$ y $\frac{4}{3}\Sigma_2$ no puede tener valores definidos?
El libro quiere decir que las dos matrices de Pauli $\sigma_1,\sigma_2$ no conmutan entre sí, por lo que no pueden tener valores definidos simultáneamente. Esto no es más que otro ejemplo del principio de incertidumbre de Heisenberg. Están haciendo el mismo comentario sobre las matrices de Pauli que el comentario habitual sobre la posición y el momento que no se pueden determinar al mismo tiempo.
Para $A$ para estar bien definido, se necesitaría que el estado fuera un estado propio de ambas matrices de Pauli porque $A$ es una compleja combinación de ellas. Si el coeficiente relativo fuera real, entonces $A$ sería simplemente otro componente inclinado del vector de la matriz de Pauli, y podría tener valores propios aunque no fueran valores propios de ninguno de los dos $\sigma_1$ ni $\sigma_2$ .
I) Recordemos que el observables en mecánica cuántica vienen dadas por operadores (o matrices) autoadjuntos.
La matriz
$$A ~=~ \frac{5}{3}\Sigma_1 + i\frac{4}{3}\Sigma_2$$
es no autoadjunto
$$A^{\dagger} ~=~ \frac{5}{3}\Sigma_1 - i\frac{4}{3}\Sigma_2,$$
así que $A$ no es un observable en el sentido tradicional.
II) Sin embargo, hay una salvedad a lo anterior. Si, por ejemplo, tenemos dos operadores autoadjuntos mutuamente conmutables $B\!=\!B^{\dagger}$ y $C\!=\!C^{\dagger}$ podemos construir un "observable complejo".
$$A~:=~B+iC.$$
Entonces podríamos encontrar un conjunto completo de estados propios simultáneos para $B$ y $C$ . Y entonces $A$ tendría valores propios complejos en estos estados propios. (Técnicamente $A$ se denomina entonces normal operador. Esta es la versión cuántica de lo que sabemos por geometría clásica, que podemos representar equivalentemente un punto en el plano 2D como dos coordenadas reales $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ o como un único número complejo $z=x+iy$ .)
En nuestro caso tenemos $B=\frac{5}{3}\Sigma_1$ y $C=\frac{4}{3}\Sigma_2$ . Pero el conmutador $[B,C]\neq 0$ no es cero, por lo que no podemos interpretar $A$ como "observable complejo".
III) Conclusión: $A$ no es un observable físico "real" (es decir, autoadjunto) ni "complejo" (es decir, normal).
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