Mi verdadero análisis de la profesora menciona que existen funciones de $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que cumplan todas las condiciones siguientes para todos los $a,b \in \mathbb{R}$:
$$f(1)=e$$
$$f(a+b)=f(a)f(b)$$
$$\exists\, x \in \mathbb{R} \,\,\,\,\text{ such that } \,\,\,f(x)\neq e^{x}$$
Yo estaba tratando de encontrar una función de este tipo y me he encontrado algo de dificultad. Traté de averiguar qué valores de $x$ requirió $f(x) = e^x$ ...
Empecé con $0$ y llegó a todos los números enteros, entonces a los racionales.
De la propiedad $2$ podemos dejar $a=0$ encontrar $f(0)$ como sigue:
$$f(b) = f(0+b) = f(0)f(b)$$
$$f(0)=1$$
Para cualquier entero positivo $n \in \mathbb{N}$ podemos encontrar $f(n)$
$$f(n) = f(1+(n-1)) = f(1)f(n-1) =\cdots=f(1)^n = e^n$$
Podemos encontrar $f(-1)$ como sigue:
$$1 = f(0) = f(-1+1) = f(-1)f(1) = f(-1) \cdot e$$
$$f(-1) = \frac{1}{e} = e^{-1}$$
Esto nos permite encontrar $f(-n)$ cualquier $n \in \mathbb{N}$:
$$f(-n) = f(-1 + -(n-1)) = f(-1)f(-(n-1)) = \cdots = f(-1)^n = e^{-n}$$
Por lo tanto, para todos los $m \in \mathbb{Z}$, $f(m)=e^m$.
Podemos encontrar $f(1/2)$ como sigue:
$$e = f(1) = f\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)^2$$
$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \pm \sqrt{e} = \pm \,e^{1/2}$$
Del mismo modo,
$$f\left(\frac{1}{3}\right) = \sqrt[3]{e} = e^{1/3}$$
También se puede obtener de
$$f\left(\frac{2}{3}\right) = e^{2/3}$$
De ello se desprende con bastante rapidez para que todos los $p/q \in \mathbb{Q}$ con $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$ (de modo que $q > 0$), y $\gcd(p,q)=1$, $$f\left(\frac{p}{q}\right) = \pm \,e^{p/q}$$
al $q$ es aún, y
$$f\left(\frac{p}{q}\right) = e^{p/q}$$
al $q$ es impar. Ya que estos funcionan para todos los racionales, podemos decir que si $f$ es continuo, $f(x) = e^x$ todos los $x \in \mathbb{R}$.
Pero no sabemos que $f$ es continua, por lo que no hay, definitivamente, puede todavía ser valores de $x$ que $f(x) \neq e^x$. Es decir, $x \in \mathbb{R}$$x \not\in\mathbb{Q}$. Tomemos el primer ejemplo de un sistema irracional que viene a la mente: $\sqrt{2}$
Considere la posibilidad de $f\left(\sqrt{2}\right) \in \mathbb{R}$. Tal como se utilizó $f(1) = e$ por encima, para cualquier racional $p/q$ podemos derivar $$f\left(\frac{p}{q}\sqrt{2}\right) = e^{p/q}f\left(\sqrt{2}\right)$$
Esto podría tener un $\pm$ frente a si $q$ es incluso.
En cualquier caso, si se ignoran los posibles valores negativos, podemos ver en el gráfico de esta función, el trazado de los puntos que sabemos hasta el momento. En cualquier racional $x$$e^x$. En $\sqrt{2}$ es algún número real, se $k$. En cualquier racional múltiples de $\sqrt{2}$, $x\sqrt{2}$, es $ke^x$.
Así que si sólo nos fijamos en racional múltiplos de $\sqrt{2}$, la función se parece a una estirada de copia de $e^x$, donde el grado de estiramiento depende del valor de $f\left(\sqrt{2}\right)$.
En este punto, pensé que había encontrado una función que satisface las tres propiedades, y que yo podría escribir explícitamente sus valores. Supongamos $f\left(\sqrt{2}\right) = 5$ $f\left(\frac{p}{q}\sqrt{2}\right) = 5e^{p/q}$ para cualquier racional $p/q$. Para cualquier otro $x \in \mathbb{R}$, dejamos $f(x) = e^x$.
Por desgracia, este cae rápidamente. Considere la posibilidad de $$a=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$$
$$b = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$$
Ni son múltiplos de $\sqrt{2}$, pero su suma es. $f(a+b) = f\left(\sqrt{2}\right)$ tiene que ser simultáneamente $e^\sqrt{2}$$5$, lo cual es un problema.
Mi posteriores esfuerzos de todos resultó en fracaso. Yo podría haber encontrado algunas de las funciones que satisfacen las tres condiciones, la explotación de la $\pm$ que aparece incluso con denominador las fracciones, pero si he añadido una cuarta condición para $f(x)$ a ser positiva, no podía escribir cualquiera de las funciones que trabajó.
Le pregunté a mi profesor acerca de esto, y me dijo que no era posible escribir una función, y que fue el motivo de que yo no era capaz. Él dijo que los matemáticos sólo saben que existen a causa de algo que se llama una base de Hamel.
En una suerte de giro de los acontecimientos, el libro de texto para mi clase de teoría de conjuntos tenido una o dos páginas sobre la existencia de una base de Hamel, y resulta que la prueba de su existencia requiere el Axioma de Elección. No hemos conseguido cerrar a hablar sobre el Axioma de Elección en mi clase de teoría de conjuntos, así que no estoy demasiado clara, y yo realmente no lo entiendo.
Esto me lleva, por fin, mi pregunta(s). Si tales funciones se puede escribir de manera explícita, ¿cómo sabemos que existe? No es solo que la hemos probado que existen y simplemente no han logrado encontrar uno, sin embargo, es que hemos probado (de alguna manera!?) que no pueden ser explícitamente por escrito.
Es la prueba de la existencia de una base de Hamel polémica? Es la suposición de que el Axioma de Elección, algo que todo el matemático piensa que es una buena? ¿Cómo sabemos que es imposible escribir una función que tiene valores positivos y satisface las propiedades $1$, $2$ y $3$?
