Sea $f_{a,b}(x)=2^{x+a-b}-abx+4$ . Demuestre que para $x_1$ lo suficientemente cerca de $2$ y $x_2$ lo suficientemente cerca de $3$ hay $a,b$ tal que $f_{a,b}(x_1)=f_{a,b}(x_2)=0$ .
Sugerencia : $f_{2,2}(2)=f_{2,2}(3)=0$ .
Parece haber mucho que ver con el Teorema de la Función Implícita.
Mis problemas son :
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En las notaciones de mi profesor, bastante poco ortodoxas (¿Decir "Poco ortodoxas" es una falta de respeto hacia él? No soy nativo.), el teorema se define para el origen, en el que la función es $0$ y no cualquier punto del espacio euclidiano.
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Mientras que el Teorema proporciona información sobre la vecindad del punto en el que la función es cero, no proporciona mucha información con respecto a a vecindad que contiene dos puntos\soluciones a $f(x)=0$ . Así pues, me queda el deber de demostrar que existen dos barrios de $((a,b)(2),2)$ y $((a,b)(3),3)$ en las que la función es cero, y que estas vecindades se intersecan.
Estoy completamente abrumado, y me beneficiaría su perspectiva sobre el terreno.
He estado pensando un poco y esta es mi intente :
Utilizando la forma más convencional del Teorema de la Función Implícita, $f:\Bbb{R}^2\times\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ es continua en todas sus variables. También lo es su gradiente. Por lo tanto es $C_1$ (¿Servirá?). Se haya demostrado correctamente o no que $f$ es $C_1$ suponiendo que lo sea, ya que $f(2,2,2)=0$ existe una vecindad $V_{(2,2)}\times V_2\in \Bbb{R}^3$ (Es decir, una intersección de vecindarios de $(2,2)$ y $2$ en $\Bbb{R}^3$ ) de $(2,2,2)$ en el que $f(x,y)=0\iff y=g(x),x\in\Bbb{R}^2$ . Así para $x_1$ lo suficientemente cerca de $2$ , $x_1\in V_2$ y obtenemos un vecindario $U_{x_1}$ de $(2,2)$ , satisfaciendo $U_{x_1}\subset V_{2,2}$ tal que en $U_{x_1}\times V_2$ , $f(x,x_1)=0\iff x_1=g(x), x\in \Bbb{R}^2$ . Hacer lo mismo para $x_2$ cerca de $3$ obtenemos un vecindario $U_{x_2}\times V_3$ y $x_2$ se representa en función de $a$ y $b$ en $U_{x_2}$ . Desde $U_{x_1}\cap U_{x_2}\ne \emptyset$ hay $a,b$ según sea necesario. ¿Estoy cerca?
