Utilice la eliminación de cuantificadores en $T$ . Dado que la lengua $\{<\} \cup \{c_i:i<\omega\}$ contiene constantes, se deduce que $T$ está completo.
Para demostrar que $T$ realmente tiene eliminación de cuantificador, utilice el siguiente teorema (Teorema 3.2.5 en Tent-Ziegler): $T$ tiene eliminación del cuantificador si y sólo si para todos los modelos $\mathcal M$ y $\mathcal N$ de $T$ con una subestructura común $\mathcal A$ y para todas las fórmulas existenciales primitivas $\varphi(x_1,\ldots,x_n)$ y parámetros $a_1,\ldots,a_n$ de $\mathcal A$ tenemos $\mathcal M \models \varphi(a_1,\ldots,a_n) \Rightarrow \mathcal N \models \varphi(a_1,\ldots,a_n)$ .
Una fórmula existencial primitiva tiene la forma $\exists v \psi(v,w_1,\ldots,w_n)$ donde $\psi$ es una conjunción de fórmulas atómicas y fórmulas atómicas negadas.
Si $\psi(v,w_1,\ldots,w_n) \rightarrow v=w_i$ o $\psi(v,w_1,\ldots,w_n) \rightarrow v = c_i$ para algunos $i$ entonces se puede argumentar directamente que se cumple la condición del teorema. Sin pérdida de generalidad, cualquier otro tipo de fórmula existencial primitiva satisfacible $\exists v \psi(v,w_1,\ldots,w_n)$ adopta la forma
$$\exists v \bigwedge_{f(i)=0} v<w_i \wedge \bigwedge_{f(i)=1} w_i<v \wedge \bigwedge_{j \le k} c_j<w \wedge \bigwedge_{j>k} w<c_j$$
donde $f$ es una partición conveniente de $\{1,\ldots,n\}$ . Utilizando el hecho de que $T$ es la teoría de los órdenes lineales densos, ahora se puede argumentar que $\mathcal M \models \exists v \psi(v,a_1,\ldots,a_n) \Rightarrow \mathcal N \models \exists v \psi(v,a_1,\ldots,a_n)$ .
He eludido algunos detalles, pero esto debería ser un esbozo factible de un argumento.
