Querido Thomas,
Este "paisaje" es, creo, un esbozo de la prueba del siguiente teorema de Taylor y Yoshida: si $\Pi$ es un auto-dual cuspdidal automorphic forma en $GL_n$ $E$ (un CM de campo)
para (satisfacer algunas condiciones técnicas) y $\rho$ es la asociada a $n$-dimensional
Galois representación (construido por Harris y Taylor en su libro "La geometría y cohomology de unos simples Shimura variedades"), entonces los factores locales de $\Pi$ en cualquier prime
$p$ $E$ partidos, a través de locales de Langlands, con la restricción de $\rho$ a una descomposición grupo en $p$.
Lo cual fue demostrado en Harris-Taylor fue que esta coincidencia es correcta, a la pregunta
de la coincidencia de la $N$ a cada lado. Lo que Taylor y Yoshida verificado es que el $N$ a cada lado
también los partidos.
La parte superior del paisaje representa la reducción a la unipotentes situación (es decir, el contexto en el que $\Pi$, a nivel local en $p$, tiene un Iwahori vector fijo --- los analógica
de los clásicos a nivel de $\Gamma_0(p)$), por
base-cambiar a una extensión de $E$. En el automorphic lado, este es el proceso de
rotuladas con los nombres de Arthur--Clozel--Selberg; en el Galois lado, esto es sólo la restricción de
de $Gal(\overline{E}/E)$ $Gal(\overline{E}/E')$para algunos seleccionados adecuadamente
la extensión de $E'$$E$. Si uno piensa en $\rho$ tal como aparece en el cohomology de un Shimura
variedad (que es, después de todo, ¿cómo es que se construye), entonces esto sólo corresponde a
base-el cambio de la variedad de$E$$E'$, que es por qué este proceso es etiquetado como
geométricas cambio de base en el "paisaje".
En la parte inferior derecha del diagrama, uno tiene la generalización de la conjetura de Ramanujan, que indica que el factor local de $\Pi$ $p$ debe ser templado,
que a su vez implica que el local (en $p$) Galois representación (más precisamente,
Weil--Deligne representación) que se adjunta a este factor local satisface la monodromy
peso de la conjetura. Este temperedness fue demostrado por Harris-Taylor.
Ahora ya sabemos que $\rho$ locales en $p$ coincide con el factor local de $\Pi$ a
$p$ $N$ , y no es difícil mostrar que no hay una única manera de agregar $N$ así como
para obtener un local Weil--Deligne representación de la satisfacción de las monodromy peso conjetura.
Así que para demostrar su teorema, Taylor y Yoshida se reduce a probar que $\rho$, localmente
en $p$, cumple con la monodromy peso conjetura.
Ellos hacen esto a través de una aplicación de la Rapoport--Zink espectral de la secuencia y un análisis cuidadoso de la mala reducción de la Shimura variedad en cuyo cohomology $\rho$ vidas. Esto se representa en la parte inferior izquierda del diagrama.
La parte inferior del diagrama de la izquierda representa el hecho de que a priori se sabe
que $\rho$ es de tipo mixto, es decir, su semi-simplificación ha Frobenius valores propios que son
Weil números de diferentes pesos. Pero la parte principal del paisaje aquí es el monodromy peso conjetura, que describe la relación precisa entre la Frobenius autovalores y el $N$ operador.
Para probar el MWC en su contexto, Taylor y Yoshida
el uso de la interacción entre la geometría de la
especial de fibras de la Shimura variedad y la teoría de la representación de $\Pi$ que es el objeto principal de Harris y Taylor libro, así como de la Sección 2 de Taylor y Yoshida del artículo. En particular, el hecho de que $\Pi$, a nivel local en $p$, es templado unitaria, y se supone que tiene un Iwahori fijo vector, pone a fuertes restricciones en su estructura (utilizando la conocida clasificación de los representantes unitarios. de $GL_n$ sobre los campos de la región; esta es la razón por la Tadic nombre aparece en el lado derecho de la horizontal), que cuando se alimenta a
el geométrica lado implica que el RZ espectral de la secuencia degenera en $E_1$, dando la deseada monodromy peso conjetura.
Mi sugerencia es que si usted quiere entender esto en más detalle, usted debe leer Taylor y Yoshida del artículo. Inicio al final del documento, donde el principal es el teorema demostrado (es decir, el párrafo que empieza "ahora podemos concluir ... "). Los lemas que se refiere la sección 1 son más o menos elemental. Teorema 3.2, es el corazón del argumento; es donde la degeneración de la RZ espectral de la secuencia está probado. Uno puede tratar de leer más o menos formalmente, teniendo varias afirmaciones como una caja negra,
al menos para ver cuál es el papel de la temperedness de $\Pi$ locales en $p$ juega. Las partes anteriores de la Sección 3 están estableciendo la notación, y la toma de contacto con el libro de Harris-Taylor. La sección 2 está dedicada a establecer las propiedades básicas de la semi-estable modelos de la Shimura variedades en cuyo cohomology $\rho$ vidas; recomiendo tratarla como una caja negra en la primera lectura.
Añadido: en Primer lugar, debo señalar que las referencias que hago son para la versión de Taylor--Yoshida, que está actualmente publicado en Taylor página web, en el cual me dicen que puede diferir sustancialmente en su organización a partir de la versión publicada de el papel.
También, permítanme añadir algo sobre el papel de la clasificación de las representaciones unitaria
de $GL_n$, lo que ayudará a iluminar la estructura de la parte inferior del paisaje:
En primer lugar, utiliza el resultado general que geométricamente obtenido representaciones de Galois son mixtos (es decir, que tienen Frobenius valores propios que son Weil números), junto con el local-global de compatibilidad sin el $N$, para deducir que el Frobenius autovalores
de la Weil--Deligne representación adjunta para el factor local de $\Pi$ $p$ son Weil números. Segundo, los resultados de Tadic en la clasificación de unitario de representaciones de $GL_n$ $p$- ádico campos de gran restringir la estructura de este
factor local (ya que es a la vez unitaria y genérico, siendo el factor local de un cuspidal
automorphic representación de $GL_n$). Finalmente, cuando esto se combina con el hecho de que
el Weil--Deligne rep & asociados a través de locales de Langlands es mixta, que uno ve que este
factor local está obligado a ser templado. Esta es la forma en Harris-Taylor deducir temperedness;
es un análogo en $p$ de un argumento en el de arquímedes primer hecha por Clozel en su Ann Arbor papel. (Ver Lema 4.9 de la página.144 del volumen I de la conferencia de Ann Arbor. Un análisis
está disponible en Jim Milne página web aquí,
pero tenga en cuenta que es un archivo de gran tamaño.)
Por último, permítanme explicar cómo leer correctamente el paisaje: uno empieza en la parte inferior izquierda, siguiendo la flecha. Al llegar a un puente, cruzar el río de la motivic/Galois de lado a la automorphic el costado o la espalda de nuevo, seguir las flechas. Los campos marcados con un
x se impenetrable (o, al menos, no trate de cruzar directamente --- por ejemplo, si no demostrar GRC directamente, no demostrar WMC directamente, no el estudio de la general semi-estable reducción problema directamente); la única manera de proceder es, al cruzar el río. Entonces, esto da
la estructura de la Taylor--Yoshida argumento.
