¿Los subconjuntos de generadores de un ideal tórico generan un ideal tórico?

Question

Dado un ideal tórico, digamos $J$ en un anillo polinómico $k[x_1,...,x_n]$ podemos encontrar una finito para $J$ . ¿Es posible, tal vez bajo supuestos adicionales sobre la estructura de $J$ para dar un conjunto generador mínimo finito para $J$ tal que todo subconjunto de generadores genera también un ideal tórico.

En caso negativo, ¿se conoce algún contraejemplo en el caso general?

En caso afirmativo, ¿podría facilitar alguna referencia? ¿Se generaliza a los ideales de celosía?

Motivación: Para conjuntos generadores de ideales tóricos especialmente elegidos existen subconjuntos que también generan un ideal tórico. Por ejemplo, el ideal determinante 2xn es tórico. Un conjunto generador viene dado por los menores 2x2 de la matriz determinante, digamos $M$ . Entonces el ideal generado por aquellos menores que corresponden a un subconjunto de las columnas del $M$ también es tórica.

Answer 1

Creo que esto es un contraejemplo. Los ideales tóricos son primos por definición (si no recuerdo mal). Entonces creo que el ideal de la cúbica retorcida $C\subseteq \mathbb P^3$ debería hacerlo.

$J=\langle xz-y^2, xw-yz,wy-z^2\rangle$ .

Dos de los tres generadores se cruzarán en la unión de $C$ y una línea. Por ejemplo, la desaparición de $I=\langle xz-y^2, xw-yz\rangle$ es $C\cup L$ donde $L=V(x,y)$ . Así que $I$ no puede ser de primera.

Answer 2

Lo que ocurre puede explicarse completamente en términos de vectores exponentes. Para ello podemos mapear cada generador $x^u -x^v$ de $J$ al vector exponente $u-v \in \mathbb{Z}^n$ . A la inversa, para cada vector entero $s\in \mathbb{Z}^n$ podemos formar un binomio $x^{s^+} - x^{s^-}$ donde $s^\pm_i = \max(\pm s_i, 0)$ son la parte positiva y negativa de $s$ tal que $s = s^+ - s^-$ . Tomemos ahora las imágenes vectoriales enteras de un conjunto generador mínimo de $J$ y que $L_J$ sea la subred de $\mathbb{Z}^n$ que generan. Esta red es independiente de los generadores elegidos y tenemos el siguiente hecho básico:

Prop. Let $S \subset L$ sea cualquier conjunto finito de vectores que abarque $L$ como un enrejado. Entonces $J = \langle x^{s^+} - x^{s^-} : s\in S\rangle : \left(\prod_i x_i\right)^\infty$ .

Normalmente, un grupo electrógeno de $L$ será mucho más pequeña que cualquier imagen de un conjunto generador mínimo de $J$ . (Busque en Google "base de Markov" para encontrar montones de ejemplos de estadística algebraica). La proposición dice que $J$ puede reconstruirse a partir de $L$ pero también que cada vez que se retira un generador de $J$ y $L$ no cambia, entonces el ideal resultante no puede ser primo (tiene algunas componentes extra que están contenidas en la unión de los planos de coordenadas). El ejemplo de Dan es de esta forma.

Por lo tanto, la única oportunidad que puede tener, es cuando $J$ es, de hecho, una intersección completa. Este caso se trata en el artículo "Affine semigroup rings that are complete intersections" de Fischer, Morris y Shapiro Proc. AMS 125 (11), 1997. Contiene una caracterización combinatoria semigrupos de intersección completa en el Teorema 3.1 que puede ser útil para encontrar un contraejemplo también en ese caso.