Preguntas sobre el mapa de la tienda, $T_c (x)$

Question

Supongamos que tenemos el mapa de la tienda, definido por $$T_c(x) = \begin{cases} cx & 0\leq x \leq 1/2\\ c-cx& 1/2 \leq x \leq 1. \end{cases}$$

¿Cuáles son las órbitas de período 3 para este mapa? Las he visto para el mapa de la carpa cuando $c=2$ pero no los encuentro en términos de $c$ por mi vida.

Answer 1

El segmento de línea de $T_c^3$ tienen ecuaciones y puntos fijos \begin{array}{c|rl|c} 0&c(c(c(x)))&=c^3x&\\ 1&c(1-c(c(x)))&=c-c^3x&\dfrac{c}{1+c^3}\\ 2&c(c(1-c(x)))&=c^2-c^3x&\dfrac{c^2}{1+c^3}\\ 3&c(1-c(1-c(x)))&=c-c^2+c^3x&\dfrac{c}{1+c+c^2}\\ 4&c(c(c(1-x)))&=c^3-x^3&\dfrac{c^3}{1+c^3}\\ 5&c(1-c(c(1-x)))&=c-c^3+c^3x&\dfrac{c+c^2}{1+c+c^2}\\ 6&c(c(1-c(1-x)))&=c^2-c^3+c^3&\dfrac{c^2}{1+c+c^2}\\ 7&c(1-c(1-c(1-c)))&=c-c^2+c^3-c^3x&\dfrac{c}{1+c} \end{array}

donde se pueden reconocer los dos 3 ciclos $$ \dfrac{c}{1+c^3}\to\dfrac{c^2}{1+c^3}\to\dfrac{c^3}{1+c^3} $$ y $$ \dfrac{c}{1+c+c^2}\to\dfrac{c^2}{1+c+c^2}\to\dfrac{c+c^2}{1+c+c^2} $$ Existen para $$ \dfrac{c}{1+c+c^2}\le \frac12\le\dfrac{c^2}{1+c+c^2}\\\iff\\ 2c\le1+c+c^2\le 2c^2\\\iff\\ -c^2+c-1\le 0 \le c^2-c-1 $$ lo que es cierto para $c\ge\frac{1+\sqrt5}2$ Véase también Demostrar que el valor crítico para la aparición de órbitas de período 3 en el mapa de tiendas es $\frac{1+\sqrt5}{2}$ .