Regularización: Evaluación del bucle único $\phi^4$ integral por encargo $\lambda^2$

Question

Actualmente estoy en el capítulo de regularización del libro QFT de Zee. Para el $\phi^4$ una amplitud para una corrección de bucle único de orden $\lambda^2$ viene dado por un diagrama

Siguiendo las reglas de Feynman, obtenemos la amplitud $$\mathcal{M}=\frac{i^2}{2}(-i\lambda)^2\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\frac{1}{k^2-m^2+i\epsilon}\frac{1}{(K-k)^2-m^2+i\epsilon}$$ donde $K=k_1+k_2$ . Suponiendo que $m<<k$ y teniendo el corte $\Lambda$ dijo que esto equivale a $$\mathcal{M}=iC\lambda^2log\bigg(\frac{\Lambda^2}{K^2}\bigg)$$ Dónde $C$ es sólo una constante después de la evaluación. Yo estaba tratando de evaluar esta integral para obtener la misma respuesta que él obtuvo, pero no estoy llegando a ninguna parte cerca. Ni siquiera entiendo cuáles son los límites en las 4 integrales si las sustituimos por $\Lambda$ . ¿Son todos los límites $\Lambda$ ?

¿Cómo obtuvo esa respuesta?

Answer 1

Para regular la amplitud $M = \frac{i^2}{2}(-i\lambda)^2 I$ con

$$I:=\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{1}{k^2-m^2}\frac{1}{(k-K)^2-m^2}$$

se aplica la siguiente estrategia (según R.Feynman). Con $A=(k-K)^2-m^2$ y $B=k^2-m^2$

$$I = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{1}{A}\frac{1}{B}=\int_0^1 dx\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\frac{1}{[xA + (1-x) B]^2}$$

Expandiendo el denominador obtenemos:

$$I=\int_0^1 dx\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\frac{1}{[k^2 - 2xK\cdot k + xK^2 -m^2]^2}$$

El siguiente paso es una sustitución $l =k-xK$ : ( $l$ es un vector 4 con los componentes $(l^0,l^1,l^2,l^3)$ ):

$$I=\int_0^1 dx\int \frac{d^4l}{(2\pi)^4}\frac{1}{[l^2+x(1-x)K^2 -m^2]^2}$$

seguido de una rotación Wick: $l^0_E = -il^0$ y $\vec{l_E} = \vec{l}$

$$I = i\int_0^1 dx\int \frac{d^4l_E}{(2\pi)^4}\frac{1}{[l_E^2-x(1-x)K^2 +m^2]^2}= i\int_0^1 dx\int \frac{d^4l_E}{(2\pi)^4}\frac{1}{[l_E^2+\Delta]^2}$$ con $\Delta = m^2-x(1-x)K^2$ Al parecer, Zee aplicó la regularización de Pauli-Villars, que consiste en sustituir

$$\frac{1}{(l_E^2 +\Delta)^2} \longrightarrow \frac{1}{(l_E^2 +\Delta)^2}-\frac{1}{(l_E^2 +\Lambda^2)^2}$$ Aplicarlo en nuestra integral $I$ se convierte en $I_\Lambda$ :

$$I_\Lambda=i\int_0^1 dx\int \frac{d^4l_E}{(2\pi)^4}(\frac{1}{[l_E^2+\Delta]^2}-\frac{1}{[l_E^2+\Lambda^2]^2}) = i\int_0^1 dx\int d\Omega_4 \int_0^{\infty} \frac{dl_E }{(2\pi)^4} \left( \frac{l_E^3}{[l_E^2+\Delta]^2} - \frac{l_E^3}{[l_E^2+\Lambda^2]^2}\right)$$

Una última sustitución $z= l_E^2$ con $dz = 2l_E dl_E$ da ( $\int d\Omega_4 = 2\pi^2$ ):

$$I_\Lambda=i\int_0^1 dx\int_0^{\infty}\frac{dz}{(4\pi)^2} \left( \frac{z}{[z+\Delta]^2} - \frac{z}{[z+\Lambda^2]^2}\right)=\frac{i}{(4\pi)^2}\int_0^1 dx\,\, \log(\frac{\Lambda^2}{\Delta})$$

Por lo tanto obtenemos para la amplitud regularizada $M_\Lambda$ :

$$M_\Lambda = \frac{i^2}{2}(-i\lambda)^2 I_\Lambda =\frac{i\lambda^2}{32\pi^2} \int_0^1 dx\,\, \log\left(\frac{\Lambda^2}{m^2-x(1-x)K^2}\right)$$

que corresponde a la fórmula (14) de Zee en la página 152. En el cálculo los términos $+i\epsilon$ se omitieron para simplificar.

Answer 2

Si no necesita conocer la constante $C$ entonces todo lo que tienes que hacer es observar que la integral es Log divergente a gran momento, por lo que debe contener un $\ln \Lambda^2$ pero el argumento del logaritmo tiene que ser adimensional y la única cantidad adimensional de la que depende la integral es $K^2$ por lo que contiene un $\ln (K^2/\Lambda^2)$ . Para obtener el factor de $i$ Supongo que se está haciendo una rotación de Wick para que el $dk_0$ se gira a $i dk_0$ .

Si necesita el número real $C$ utilizar el método de los parámetros de Feynman. Si $m=0$ es mucho más fácil trabajar en la firma de Euclides y en el espacio de configuación.