Cómo probar esto $x_{2^n}\ge 2^n-n+1$

Question

La secuencia $(x_n)_{n\ge 1}$ , $x_n$ en el exponente de 2 en la descomposición del numerador de $$\dfrac{2}{1}+\dfrac{2^2}{2}+\cdots+\dfrac{2^n}{n}$$ va a infinito como $n\to\infty$ . Más aún, demuestre que $$x_{2^n}\ge 2^n-n+1$$

Mi idea: tal vez $$\dfrac{2}{1}+\dfrac{2^2}{2}+\cdots+\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{2^n}{n}\cdot M'?$$ donde $M'$ son números positivos.

así que después de sustituir $n$ por $2^n$ entonces $$\dfrac{2}{1}+\cdots+\dfrac{2^{2^n}}{2^n}=\dfrac{2^{2^n}}{2^n}M''=2^{2^n-n}M''$$ Entonces no puedo, gracias por su ayuda.

Answer 1

Ahora, tengo solución a este bonito problema, sólo observamos que $$\dfrac{2}{1}+\dfrac{2^2}{2}+\cdots+\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{2^n}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{\binom{n-1}{k}}$$ Esta prueba de identidad se puede ver: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=371496&sid=e0319f030d85bf1390a8fb335fd87c9d#p371496

también recuerdo esta indentity stackmath han publicar, pero no puedo encontrar este enlace.

Answer 2

Esta es una respuesta parcial, sólo subyace una técnica interesante. $$\frac{a_n}{b_n}=\sum_{k=1}^n\frac{2^k}{k},\qquad (a_n,b_n)=1$$ es el opuesto de la suma de los recíprocos de las raíces de $$P_n(x) = \prod_{k=1}^{n}\left(x+\frac{k}{2^k}\right)=2^{-\frac{n(n+1)}{2}}\prod_{k=1}^{n}(k+2^kx),$$ así que $$\frac{a_n}{b_n}=\frac{P_n'(0)}{P_n(0)}=\left.\frac{d}{dx}\left(\log P_n(x)\right)\right|_{x=0},\tag{1}$$ y sólo necesitamos estimar el $2$ -altura de $P_n(0)$ y $P_n'(0)$ . La primera tarea es bastante fácil: $$\nu_2(P_n(0))=-\frac{n(n+1)}{2}+\sum_{j=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{2^j}\right\rfloor\leq -\frac{n(n-1)}{2},\tag{2}$$ mientras que para la segunda se necesita algo de perspicacia. Necesitamos un límite inferior para $\nu_2(Q_n'(0))-\nu_2(n!)$ , donde: $$Q_n(x)=\prod_{k=1}^{n}(k+2^k x),$$ $$Q_{n+1}'(0) = (n+1)\cdot Q_n'(0) + 2^{n+1}n!,$$ $$\nu_2(Q_{n+1}'(0)) \geq \min\left(\nu_2(n+1)+\nu_2(Q_n'(0)),n+1+\sum_{j=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{2^j}\right\rfloor\right).$$ La última línea da trivialmente que la secuencia $\delta_n=\nu_2(Q_n'(0))-\nu_2(n!)$ es no decreciente, por lo que, para demostrar el primer punto, sólo necesitamos demostrar el segundo, que puede estar relacionado con la estructura de $\mathbb{Z}_{/2^n\mathbb{Z}}^*$ .