Esta es una respuesta parcial, sólo subyace una técnica interesante. $$\frac{a_n}{b_n}=\sum_{k=1}^n\frac{2^k}{k},\qquad (a_n,b_n)=1$$ es el opuesto de la suma de los recíprocos de las raíces de $$P_n(x) = \prod_{k=1}^{n}\left(x+\frac{k}{2^k}\right)=2^{-\frac{n(n+1)}{2}}\prod_{k=1}^{n}(k+2^kx),$$ así que $$\frac{a_n}{b_n}=\frac{P_n'(0)}{P_n(0)}=\left.\frac{d}{dx}\left(\log P_n(x)\right)\right|_{x=0},\tag{1}$$ y sólo necesitamos estimar el $2$ -altura de $P_n(0)$ y $P_n'(0)$ . La primera tarea es bastante fácil: $$\nu_2(P_n(0))=-\frac{n(n+1)}{2}+\sum_{j=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{2^j}\right\rfloor\leq -\frac{n(n-1)}{2},\tag{2}$$ mientras que para la segunda se necesita algo de perspicacia. Necesitamos un límite inferior para $\nu_2(Q_n'(0))-\nu_2(n!)$ , donde: $$ Q_n(x)=\prod_{k=1}^{n}(k+2^k x),$$ $$ Q_{n+1}'(0) = (n+1)\cdot Q_n'(0) + 2^{n+1}n!,$$ $$ \nu_2(Q_{n+1}'(0)) \geq \min\left(\nu_2(n+1)+\nu_2(Q_n'(0)),n+1+\sum_{j=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{2^j}\right\rfloor\right).$$ La última línea da trivialmente que la secuencia $\delta_n=\nu_2(Q_n'(0))-\nu_2(n!)$ es no decreciente, por lo que, para demostrar el primer punto, sólo necesitamos demostrar el segundo, que puede estar relacionado con la estructura de $\mathbb{Z}_{/2^n\mathbb{Z}}^*$ .
