Segundo espacio de Hausdorff contable localmente compacto y metrizabilidad completa

Question

Recientemente estaba intentando verificar ciertas cosas en el entorno de los espacios de Hausdorff contables 2.º localmente compactos. Pensé que se trata de una colección natural de espacios más generales que los espacios métricos, pero creo que siguiendo los teoremas de metrización tales espacios deben ser metrizables con una métrica completa. No he encontrado una afirmación tan explícita, así que he pensado en comprobar si esto es realmente correcto.

Mi razonamiento \intuition es la siguiente.

• Un espacio de Hausdorff localmente compacto es completamente regular.
• Por el teorema de metrización de Uryshonn, un espacio completamente regular 2º contable es metrizable.
• Todo 2º espacio Hausdorff contable localmente compacto es también $\sigma$ -compacto.
• Para un espacio así, el cierre de las bolas debe ser compacto.

El último punto es impreciso, pero tengo la fuerte sospecha de que tal afirmación debe sostenerse. Supongo que si me equivoco alguien puede dar un contraejemplo bien conocido. También si esta afirmación es correcta, esto debe ser conocido bajo alguna terminología que no sé cómo buscar.

Agradecería cualquier indicación al respecto.

Answer 1

Desde luego, no es cierto que en un espacio métrico segundo contable localmente compacto, los cierres de las bolas sean compactos. Por ejemplo, consideremos $(0,1)$ con la métrica habitual.

En su lugar, hay que encontrar la manera de construir una métrica especial para la que esto sea cierto. He aquí una forma de hacerlo. Sea tu espacio $X$ y que $X^*=X\cup\{\infty\}$ sea su $1$ -punto de compactación. Si $(U_n)$ es una base contable para $X$ formado por conjuntos con cierres compactos, entonces existe una base local contable en $\infty$ en $X^*$ que consiste en los complementos de los cierres de las uniones finitas de las $U_n$ (ya que una vecindad de $\infty$ es el complemento de un conjunto compacto en $X$ que debe ser cubierto por finitamente muchos de los $U_n$ 's). Combinando esta base local contable con $(U_n)$ se obtiene una base contable para $X^*$ Así que $X^*$ también es metrizable. Tomemos ahora una función continua $f:X^*\to\mathbb{R}$ que desaparece sólo en $\infty$ (por ejemplo $f(x)=d(x,\infty)$ para alguna métrica $d$ ) e incrustar $X$ en $X\times\mathbb{R}$ por $x\mapsto(x,1/f(x))$ . Esto da una métrica sobre $X$ con la propiedad de que cualquier conjunto acotado tiene cierre compacto (ya que un conjunto donde $1/f$ está acotada está contenida en el complemento de una vecindad de $\infty$ en $X^*$ ).

Answer 2

Este Búsqueda pi-Base confirma que todo Débilmente Localmente Compacto + Segundo Contable + $T_2$ deben ser Completamente Metrizables (encadenando 10 teoremas diferentes).

Un poco más directamente: $T_2$ + débilmente compacto localmente da regularidad, y con la segunda contabilidad tenemos metrizabilidad. Por último, todos los espacios débilmente compactos localmente y metrizables son completamente metrizables.