En coordenadas cilíndricas, evalúe $ \ \iiint_E \sqrt{x^2+y^2} \, dv$

Question

En coordenadas cilíndricas, evalúe $\iiint_E \sqrt{x^2+y^2}\, dv$ donde $E$ es la región interior del cilindro $x^2+y^2=9$ y entre los planos $z=1$ y $z=5$ . $

Sea $ x=r \cos \theta, \ y=r \sin \theta$ y $z=z$ . Entonces la integral se convierte en $\int_{z=1}^{z=5} \int_{r=-3}^{r=3} \int_{\theta=0}^{\theta=2 \pi} r \cdot r \, dr \, d \theta \, dz.$ ¿Es cierto ajuste, cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

La integral de la OP no es del todo correcta; el límite inferior de $r$ es " $0$ no " $-3$ "desde $r=\sqrt{x^2+y^2}\ge 0$ .

Entonces, tenemos

$$\begin{align} \iiint_E \sqrt{x^2+y^2}\,dv&=\int_1^5 \int_0^{2\pi}\int_0^3 r\,dr\,R\,d\phi\,dz\\\\ &=8\pi \int_0^3r^2\,dr\\\\ &=72 \pi \end{align}$$