Cómo vienen con la función gamma?

Question

Siempre me intriga, ¿cómo las funciones Gamma, inventor del vino para arriba con su definición $$\Gamma(x+1)=\int_0^1(-\ln t)^x\;\mathrm dt=\int_0^\infty t^xe^{-t}\;\mathrm dt$$ Hay una buena derivación de esta generalización del factorial?

Answer 1

Aquí tenemos un bonito papel de Detlef Gronau ¿por Qué es la función gamma así como es?.
Respecto a las alternativas posibles definiciones de ver Es la función Gamma mal definidos? proporcionar otro resumen de la historia de la Interpolación de los naturales factorial n! .

Relación de Euler trabajo Ed Sandifer artículos de "Cómo Euler hizo'a son de valor, en este caso 'Gamma la función'.

Answer 2

$$ \int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} + c $$

Tome $\left .\frac{d}{da}\right |_{a=1}$ en ambos lados $n$ a veces, y el álgebra para deshacerse de $(-1)^n$, tendrá una integral igual a $n!$.

Esta es una manera intuitiva para obtener la función Gamma. Se ha demostrado que para los números enteros se sostiene a partir de esta simple derivación.

Los matemáticos luego fue a través de una gran cantidad de trabajo para demostrar que vale para mucho más que sólo el entero caso.

Answer 3

Supongo que se puede decir que esta es otra aplicación de la energía de la integración por partes (y supongo que es como la integral de la fórmula "fue con" inicialmente).

Si usted está tratando de encontrar la antiderivada de $P(t) e^t$ donde $P(t)$ es un polinomio, integración por partes surge de forma natural y yo diría que(integrante de $P(t) e^t$) es bastante natural de encuentro durante los queridos estudio de las matemáticas. Y si en realidad el trabajo, te aviso el factorial como la recursividad. Podemos librar de la "no-integral" partes de la fórmula de integración por partes por el uso de los límites $0$$\infty$.

Si $I_n = \int_{0}^{\infty} t^n e^{-t} \text{dt}$, a continuación, integración por partes nos da

$$I_n = -e^{-t}t^n|_0^{\infty} + n\int_{0}^{\infty} t^{n-1} e^{-t} = nI_{n-1}$$

así que si

$f(x) = \int_{0}^{\infty} t^x e^{-t} \text{dt}, \quad x \ge 0$

entonces

$f(x) = x f(x-1), \quad x \ge 1$.

También, tenemos que $f(0) = 1$, por lo tanto la integral de la definición está de acuerdo con la función factorial en los enteros no negativos y puede servir como una extensión real de factorial.

El uso de continuación Analítica de su dominio puede ser extendida.