Una condición sobre parametrizaciones de superficies regulares

Question

Sea $\Sigma$ sea una superficie regular y $p \in \Sigma$ . Según Manfredo do Carmo en su $\textit{Differential geometry of curves and surfaces}$ una cosa que deberíamos esperar de una parametrización local $\phi$ de algún abierto $U \subseteq \mathbb{R}^2$ en un barrio abierto $V$ de $p$ en $\Sigma$ es que $\phi$ debe ser un homeomorfismo. Pero luego continúa diciendo: "Es decir, $\phi^{-1}$ es la restricción a $V$ de un mapa continuo $f: W \to \mathbb{R}^2$ para una $W \subseteq \mathbb{R}^3$ ".

¿No es esta última estipulación más fuerte que exigir $\phi$ sea un homeomorfismo? Puedo ver cómo se podría obtener si se supone que $V$ es cerrado en algún conjunto abierto mayor $Y$ , $V \subseteq Y \subseteq \mathbb{R}^3$ por el teorema de extensión de Tietze (tomar $W = Y$ ), pero no tenemos motivos para suponerlo. ¿Alguien puede arrojar algo de luz sobre este asunto?

Answer 1

Joshua, probablemente no estarás contento con esta respuesta, pero aquí está. En última instancia, el teorema de la función implícita nos dirá que una superficie lisa localmente se puede escribir como un gráfico de la forma $z=F(x,y)$ para una función suave $f$ (o $y=G(x,z)$ ou $x=H(y,z)$ ). Es decir, hay un vecindario $W$ de $p$ en $\mathbb R^3$ cuya intersección con la superficie $S$ consta de puntos $(x,y,z)$ con $z=f(x,y)$ para $(x,y)\in U\subset\mathbb R^2$ . Pero entonces cualquier función continua $\phi$ en $V=S\cap W$ puede ampliarse a $W$ estableciendo $f(x,y,z) = \phi(x,y,f(x,y))$ .