$C_{0}^{\infty}$ denota el conjunto de funciones suaves con soporte compacto. En el intento de esto, he evaluado la convolución en la (m+1)ª derivada para obtener $$ \frac{d}{d^{m+1}}(f*g) =\int f(x-y)g^{(m+1)}(y)dy = 0 $$ Pero estoy perdido en cómo demostrar que esto implica que f es un polinomio de grado a lo sumo m.
Respuesta
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En general $f$ es una distribución. Si asume $f$ es un $L^1_{loc}$ no cambia el argumento
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Si su derivada distribucional $f^{(m+1)} $ no es el $0$ distribución entonces $f \ast g^{(m+1)}=f^{(m+1)} \ast g \ne 0$ para algunos $g \in C^\infty_c$ .
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Si $f^{(m)}$ no es constante, entonces $f^{(m+1)}$ no es la distribución cero.
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Así que el $m$ -ésima derivada de $f-c_m x^m$ desaparece y por inducción $f$ es un grado $\le m$ polinómico.
Si no te gustan las distribuciones y sus derivados, elige alguna $\phi \in C^\infty_c, \int \phi = 1$ y sustituir $f$ mediante las funciones suaves $f_n = f \ast n\phi(n.)$ . Verá que cada $f_n$ es un grado $\le m$ lo que implica que $\lim_{n \to \infty} f_n$ converge (a $f$ ) en el sentido de distribución que lo mismo vale para el límite.
