Prueba de convergencia de la función sinusal

Question

Debo determinar si la integral $$\int_{1}^{\infty}\frac{2+\sin x}{1+x^2} dx$$ es convergente o divergente. ¿Es correcto decir que es convergente porque $$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{1+x^2} dx \leq \int_{1}^{\infty}\frac{2+\sin x}{1+x^2}dx \leq \int_{1}^{\infty}\frac{3}{1+x^2}dx$$ ?

Answer 1

El argumento está bien salvo que yo mencionaría explícitamente que la función es en todas partes no negativa o bien que su valor absoluto es $\le 3/(1+x^2)$ . Preferiblemente lo primero porque parece más sencillo en este caso.

Answer 2

Esto todavía no es muy formal (estás asumiendo implícitamente que la integral tiene un valor en la desigualdad). Yo diría simplemente:

$$\frac{|2+\sin x|}{|1+x^2|}=\frac{2+\sin x}{1+x^2}\leq \frac{3}{1+x^2}$$ y $$\int_{1}^{\infty}\frac{3}{1+x^2}dx$$ está convergiendo.

Answer 3

Sí, también podrías escribir: $$k\int_1^{\infty}\frac1{1+x^2}=k\arctan x\Bigg|_1^{\infty}=k(\pi/2-\pi/4)=k\pi/4$$ ¡que es finito!

Answer 4

Sí, es correcto porque muestra que $\int_1^\infty{\frac{2+\sin(x)}{1+x^2}}\,dx$ es mayor y menor que un número real (porque $\frac{1}{1+x^2}$ es integrable) por lo tanto es real y por lo tanto tienes la integrabilidad.

Answer 5

Correcto. Aunque, sólo necesitarás la desigualdad de la mano derecha; y debes mencionar que el integrando es no negativo.