Una simetría gauge significa que las ecuaciones de movimiento no determinan unívocamente la evolución de todas las variables de configuración, es decir, que el sistema de Euler-Lagrange está subdeterminado. El ejemplo canónico es el caso de la electrodinámica clásica, donde las ecuaciones de movimiento son \begin{equation} (\partial^2\delta^\mu_\nu-\partial^\mu\partial_\nu)A_\mu=0\tag1 \end{equation}
Cualquier configuración de la forma $A_\mu=\partial_\mu\Lambda$ para $\Lambda=\Lambda(x)$ resuelve trivialmente estas ecuaciones, lo que significa que dada una solución $A$ la configuración $A+\partial\Lambda$ también es una solución. Por lo tanto, la solución de las ecuaciones de movimiento no es única, el sistema está subdeterminado y existe una simetría gauge. Incluso si fijamos $\Lambda=0$ en la superficie donde se dan las condiciones iniciales, la función $\Lambda$ puede ser distinto de cero en cualquier momento posterior y, por tanto, tanto $A$ y $A+\partial \Lambda$ resolver las ecuaciones de movimiento y satisfacer las condiciones iniciales.
Cuando el sistema está subdeterminado, el sistema no tiene una función de Green bien definida, ya que si ésta existiera, el sistema podría evolucionar desde sus condiciones iniciales hasta una solución única en un momento posterior. En este sentido, una teoría gauge no tiene propagador. En el caso clásico esto no plantea ningún problema, pero en el caso cuántico-mecánico es un desastre, por las razones habituales (que no resumiremos aquí).
El análisis general de los sistemas gauge puede encontrarse, por ejemplo, en la ref.1, que animamos a OP y a cualquier persona interesada a leer. En resumen, la piedra angular de la teoría es el segundo teorema de Noether, que puede resumirse como una identidad off-shell de la forma \begin{equation} D^i\mathrm{EL}_i[\varphi]\equiv 0\tag2 \end{equation} donde $\mathrm{EL}$ es el operador de Euler-Lagrange, y $D$ es un campo vectorial determinado que genera la simetría gauge. Este teorema implica que las ecuaciones de Euler-Lagrange no son todas independientes y, por tanto, el sistema está subdeterminado, como ya se ha mencionado.
Por supuesto, cualquier transformación de la forma \begin{equation} D^i=T^{ij}\mathrm{EL}_j,\qquad\text{with}\qquad T^{ij}=-T^{ji}\tag3 \end{equation} satisface trivialmente la ec.2. Estas transformaciones, a veces llamadas inclinación son no deben considerarse verdaderas transformaciones gauge; cualquier sistema las posee y no hacen que el sistema esté subdeterminado. Si todas las simetrías gauge son sesgadas, las ecuaciones de movimiento determinan la evolución de forma única y el sistema admite un propagador; la teoría cuántico-mecánica es segura y saludable (salvo posibles ambigüedades de Gribov como se menciona en los comentarios).
Consideremos, por ejemplo, una teoría escalar con ecuaciones de movimiento \begin{equation} (\partial^2+m^2)\phi=0\tag4 \end{equation}
Este sistema es invariante bajo $\phi\to\phi+\psi$ donde $\psi(x)$ es cualquier función que satisfaga \begin{equation} (\partial^2+m^2)\psi=0\tag5 \end{equation}
¿Es esta transformación una simetría gauge? Por supuesto que no. Esta transformación es trivial, en el sentido de que no es más que una manifestación del carácter lineal de las ecuaciones de movimiento. Si $\psi$ es cero en la superficie donde se dan las condiciones iniciales, entonces será cero en cualquier momento posterior, porque $\psi$ debe cumplir $(\partial^2+m^2)\psi=0$ . La transformación $\phi\to\phi+\psi$ no representa una redundancia, porque $\psi$ está obligado a satisfacer una ecuación cuya solución es única; fijando $\psi$ en una superficie de Cauchy fija esta función en cualquier momento posterior, por lo que no representa un nuevo grado de libertad.
Consideremos ahora nuestro ejemplo inicial, las ecuaciones de movimiento de la electrodinámica, pero introduzcamos ahora el gauge de Lorentz, $\partial\cdot A\equiv0$ . Las ecuaciones de movimiento son las siguientes \begin{equation} \partial^2A=0,\qquad\partial\cdot A=0\tag6 \end{equation} cuya solución es ahora única: el sistema no tiene más grados de libertad gauge que los que son triviales. Por supuesto, el sistema es invariante bajo transformaciones de la forma $A\to\partial \Lambda$ donde $\Lambda$ debe cumplir $\partial^2\Lambda=0$ pero esto es similar a nuestro ejemplo anterior: si $\Lambda$ es cero en la superficie donde se especifican las condiciones iniciales, seguirá siendo cero en cualquier momento posterior, porque está restringido a satisfacer $\partial^2\Lambda=0$ . Esta "simetría gauge residual" es trivial en lo que respecta al segundo teorema de Noether, en el sentido de que no hace que el sistema esté subdeterminado; la solución del sistema de Euler-Lagrange es única, y el propagador está bien definido; la teoría mecánico-cuántica es segura y saludable.
Se puede argumentar que si el Lagrangiano de la teoría gauge-fija es invariante bajo $\delta A=\partial \Lambda$ con $\partial^2\Lambda=0$ entonces la integral funcional debe divergir, porque hay direcciones en el espacio de configuración donde el Lagrangiano es constante. Convéncete de que no es así comparando esta invarianza con la discutida antes, la invarianza bajo $\delta\phi=\psi$ con $(\partial^2+m^2)\psi=0$ . La integral funcional de un campo escalar no es divergente a pesar de esta invarianza, y la razón es precisamente el hecho de que no se aplica el segundo teorema de Noether: la invarianza es trivial y no conduce a un sistema subdeterminado de ecuaciones de movimiento. En un sentido heurístico, se puede decir que la condición $\partial^2\Lambda=0$ es lo suficientemente restrictiva como para que la transformación $\delta A=\partial\Lambda$ tiene medida cero en el espacio de configuraciones de campo -- no contribuye a la integral funcional.
Referencias
- DeWitt, The global approach to quantum field theory, capítulos 2-6.
