Sea $(R, \mathfrak m)$ sea un dominio normal local completo de dimensión $2$ con campo de residuos $R/\mathfrak m$ algebraicamente cerrado y característico $0$ . Supongamos que Spec $(R)$ tiene singularidad racional, sea $\pi: X \to \text{Spec}(R)$ sea resolución mínima de singularidades con divisor excepcional $E=\pi^{-1}(\mathfrak m)$ . Si $E$ tiene exactamente un componente irreducible, entonces debe ser cierto que $R$ es un singularidad de cociente cíclico ?
Respuesta
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La respuesta es sí al menos durante $\mathbb{C}$ ya que $2$ -Las singularidades de cociente (cíclicas) son tenso ( starr en alemán), es decir, que se caracterizan unívocamente, hasta biholomorfismos, por su grafo de resolución.
En otras palabras, cada $2$ -que tiene el mismo gráfico de resolución que una singularidad cociente (cíclica), es a su vez una singularidad cociente (cíclica).
Véase Korollar 2.12 en
E. Brieskorn: Singularidades racionales de superficies complejas , Inventar. Math. 4 , 336-358 (1968). ZBL0219.14003 .
