Demostrando que $a_n$ es un número entero para cada $n$

Question

Para cada $k\ge1$ número entero si definimos la secuencia : $a_1,a_2,a_3,...,$ en forma de :$$a_1=2$$

$$a_{n+1}=ka_n+\sqrt{(k^2-1)(a^2_n-4)}$$

Para cada $n=1,2,3,....$ cómo probar que $a_n$ es un número entero para cada $n$

Answer 1

$a_{n+1}=ka_n+\sqrt{(k^2-1)(a^2_n-4)}\Rightarrow a_{n+1}-ka_n=\sqrt{(k^2-1)(a^2_n-4)}$

El cuadrado ambos lados tenemos,

$a_{n+1}^2+k^2a_n^2-2ka_{n+1}a_n=k^2a_n^2-4k^2-a_n^2+4$

$\Rightarrow a_{n+1}^2+k^2a_n^2-2ka_{n+1}a_n-k^2a_n^2+4k^2+a_n^2-4=0 $

$\Rightarrow a_{n+1}^2-2ka_{n+1}a_n+4k^2+a_n^2-4=0 \dots (1)$

La sustitución de $n+1$ n tenemos de manera similar,

$\Rightarrow a_{n}^2-2ka_{n}a_{n-1}+4k^2+a_{n-1}^2-4=0 \dots (2)$

Por $(1)-(2)$ tenemos,

$a_{n+1}^2-a_{n-1}^2-2ka_{n}(a_{n+1}-a_{n-1})=0$

$(a_{n+1}-a_{n-1})(a_{n+1}+a_{n-1}-2ka_n)=0$

$\Rightarrow$ $a_{n+1}=a_{n-1}$ o $a_{n+1}=2ka_n-a_{n-1}$

Ahora vamos a utilizar la inducción,

Hipótesis: $\{a_{k}\}_{k=1}^{n}$ son todos los números enteros.

Como $a_{n+1}=a_{n-1}$ o $a_{n+1}=2ka_n-a_{n-1}$ $a_{n+1} $ es también entero.

Answer 2

Sugerencia: polinomios de Chebyshev ...