Demostrar para $Pr[A] - Pr[B] \leq Pr[A \setminus B]$

Question

Tengo eventos $A$ y $B$

Quiero demostrar que para $Pr[A] - Pr[B] \leq Pr[A \setminus B]$ .

Necesito ayuda para empezar. ¿Hay algún axioma de probabilidad que pueda usar para reescribir esto?

Answer 1

Utilice la siguiente sintaxis:
$p(X) \equiv $ probabilidad de suceso $X$ en
$(XY) \equiv $ el evento que los acontecimientos $X$ y $Y$ ambos ocurren
$(\neg X) \equiv $ el evento ese acontecimiento $X$ no se produce.

Claramente $(B)$ puede dividirse en dos eventos mutuamente excluyentes: $[B(\neg A)]$ y $(BA).$

Así, $p(B) = p[B(\neg A)] + p(BA).$

Del mismo modo, $p(A) = p[A(\neg B)] + p(BA).$

Por lo tanto: $p(A) - p(B) = p(A) - \{p[B(\neg A)] + p(BA)\} \leq p(A) - p[BA] = p[A(\neg B)].$

Answer 2

Para empezar, me gustaría señalar que $A\cup B = (A\cap B^{c})\cup B$ . De hecho, tenemos \begin{align*} (A\cap B^{c})\cup B = (A\cup B)\cap(B\cup B^{c}) = (A\cup B)\cap \Omega = A\cup B \end{align*} donde $\Omega$ es el espacio muestral.

Además, también tenemos que $A\subseteq A\cup B$ . Desde $A\cap B^{c}$ y $B$ son disjuntos, se cumple el siguiente resultado debido a la monotonicidad de la medida de probabilidad así como a la propiedad de aditividad finita: \begin{align*} \mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(A\cup B) & = \mathbb{P}((A\cap B^{c})\cup B) = \mathbb{P}(A\cap B^{c}) + \mathbb{P}(B) \Rightarrow \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(B) \leq \mathbb{P}(A\cap B^{c}) \end{align*} y hemos terminado.

Espero que esto ayude.

Answer 3

Empiece por expresar $A$ y $B$ como uniones de conjuntos disjuntos. $$A=(A\smallsetminus B)\cup(A\cap B)\\ B = (B\smallsetminus A)\cup(A\cap B)$$ Ahora se puede aplicar la propiedad aditiva de la probabilidad.