Dada una superficie compleja lisa y compacta con un haz canónico amplio que satisface $c_1^2=3c_2$ ¿es cierto que toda clase de Kahler es múltiplo de $c_1$ ? Este parece ser el caso de los falsos planos proyectivos, porque $b_2=1$ .
Respuesta
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La respuesta es no .
Un contraejemplo es el denominado Superficie Cartwright-Steger $X$ es decir, una superficie de tipo general con $p_g(X)=q(X)=1$ y $K_X^2=9$ .
Tal superficie tiene el rango de Picard $3$ y además $\mathrm{NS}(X)=H^{1, 1}(X)$ es decir, todas las clases de Hodge en $X$ son algebraicas. En particular, el espacio vectorial $$H^{1, 1}_{\mathbb{R}}(X):=H^{1,1}(X) \cap H^1(X, \, \mathbb{R})$$ tiene dimensión real $3$ porque su complejización es $H^{1, 1}(X).$
Por otra parte, por hechos generales el cono de Kähler $\mathcal{K}_X$ de $X$ es un cono abierto y convexo en $H^{1,1}_{\mathbb{R}}(X)$ por lo que no puede ser de dimensión $1$ .
