un ejercicio de teoría de Galois sobre polinomios

Question

Buscar un campo $F$ y diferentes polinomios $f(X),g(X)\in F[X]$ que para cada $\alpha \in F$ tenemos $f(\alpha)=g(\alpha)$ .

demostrar que es imposible si $F$ es infinito.

Creo que este ejemplo funciona: $F=Z_2 , f(X)=0 , g(X)=x^2-x $

¿es verdad?

como puedo probarlo cuando $F$ ¿es infinito?

gracias

Answer 1

Sí, su ejemplo es correcto y, en general, en $\mathbb{F}_p$ , $f(X)=0$ et $g(X)=X^p-X$ son un ejemplo de este tipo.

Si $F$ es infinito, sea $d=\max\{\deg f, \deg g\}$ y elige $a_1,\ldots, a_{d+1}\in F$ todos distintos (se puede, porque $F$ es infinito). Entonces $f(X)-g(X)=p(X)$ es un polinomio con $\deg p\leq d$ et $p(a_i)=0$ para cada $a_i$ , porque tienes que $f(a)=g(a)$ para cada $a\in F$ . Pero un polinomio, con coeficientes en un campo, de grado $d$ desapareciendo para $d+1$ en dicho campo debe ser cero. Entonces $f\equiv g$ .