Demuéstralo: Si $\gcd(a,b)=1$ entonces $\gcd(2a,2b)=2$ .

Question

Lo que se me ocurrió es:

Sea $\gcd(a,b)=1$ entonces $1|a$ et $1|b$ . Existe una, $d$ et $c$ tal que $d(1)=a$ et $c(1)=b$ .
Entonces, $(2)d=(2)a$ et $(2)c=(2)b$ .
Así, $2|2a$ et $2|2b$ .
Así que.., $(2a,2b)=2$ .

¿No es lo suficientemente específico? ¿Cómo puedo demostrar $2$ ¿es el "mayor" común divisor?

Answer 1

Para continuar: supongamos $\gcd(2a,2b)=x> 2$ . Desde $2$ es un divisor común tenemos $2\mid x$ es decir $x=2y$ donde $y\neq1$ . Esto conduce a $2a=xs=2ys$ et $2b=xt=2yt$ para algunos $s,t$ . Así $a=ys$ et $b=yt$ ya que $\gcd(a,b)=1$ debemos tener $y=1$ una contradicción. Así que $\gcd(2a,2b)$ debe ser $2$ .

Answer 2

Considere $S=\{ma+nb:m,n\in \mathbb{Z} \}$

Por el Teorema de Euclides $gcd(a,b)$ es el número entero positivo más pequeño de $S$ . Por lo tanto, existe un $x,y\in \mathbb{Z}$ tal que $xa+yb=1$ .

Obviamente entonces $x(2a)+y(2b)=2$ así que $2 \in S^*=\{m(2a)+n(2b):m,n\in \mathbb{Z} \}$ .

Supongamos por contradicción que $1 \in S^*$ . Entonces existen dos números enteros $x^*,y^* \in \mathbb{Z}$ para que $x^*(2a)+y^*(2b)=1$ y así $x^*(a)+y^*(b)=1/2$ . Una contradicción evidente ya que la suma de dos enteros no puede dar lugar a un racional no entero.

Hemos demostrado entonces que $2$ es el número entero positivo más pequeño de $S^*$ y así por el Teorema de Euclides $gcd(2a,2b)=2$