¿Proporciona el segundo teorema de incompletitud de Gödel una sentencia específica para su primer teorema?

Question

Ebbinghaus Lógica matemática en p184

7.8 Primer teorema de incompletitud de Gödel. Sea $\Phi$ ser coherente y R-decidible y supongamos $\Phi$ permite representaciones. Entonces hay un $S_{ar}$ - frase $\phi$ de forma que ni $\Phi \vdash \phi$ ni $\Phi \vdash \neg \phi$ .

p185

7.10 Segundo teorema de incompletitud de Gödel. Sea $\Phi$ sea consistente y R-decidible con $\Phi \supset \Phi_{PA}$ . Entonces $$ \text{not} \quad \Phi \vdash Consis_\Phi.$$

Sobre la relación entre los dos teoremas, p184 dice

Un refinamiento de las argumentaciones anteriores (en la primera Incompletitud de Godel de Godel) conduce a resultados sobre la consistencia de las matemáticas. En particular, el Segundo Teorema de Incompletitud de Godel de Godel, que derivaremos a continuación, muestra que la consistencia de un sistema suficientemente rico no se puede demostrar. cientemente rico no puede demostrarse utilizando sólo los medios disponibles dentro del sistema. dentro del sistema.

y https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems#Second_incompleteness_theorem dice

Este teorema (segundo teorema de incompletitud de Godel) es más fuerte que el primer teorema de incompletitud porque el enunciado construido en el primer teorema de incompletitud no expresa directamente la consistencia del sistema. La demostración del segundo teorema de incompletitud se obtiene formalizando la demostración del primer teorema de incompletitud dentro del propio sistema F.

Me cuesta entender la relación entre los dos teoremas de las fuentes anteriores.

¿Dice el primer teorema a grandes rasgos que si un conjunto de sentencias puede representar todas las funciones computables, la teoría deductiva derivada del conjunto no puede tener tanto consistencia de prueba como completitud de prueba: o una de ellas, o ninguna?

¿El segundo teorema dice casi lo mismo que el primer teorema, salvo que mientras que el primero no da una sentencia específica que no se pueda demostrar ni refutar a partir del conjunto, el segundo teorema proporciona $Consis_\Phi$ como tal sentencia?

¿Implica el segundo teorema al primero?

Answer 1

¿Dice el primer teorema a grandes rasgos que si un conjunto de sentencias puede representar todas las funciones computables, la teoría deductiva derivada del conjunto no puede tener tanto consistencia de prueba como completitud de prueba: o una de ellas, o ninguna?

Claro, esa es una forma de pensarlo (aunque has omitido el supuesto crucial de que el conjunto de sentencias también debe ser decidible).

¿El segundo teorema dice casi lo mismo que el primer teorema, salvo que mientras que el primero no da una sentencia específica que no se pueda demostrar ni refutar a partir del conjunto, el segundo teorema proporciona $Consis_\Phi$ como tal sentencia?

No del todo. El segundo teorema establece $Consis_\Phi$ como una sentencia que no se puede demostrar a partir de $\Phi$ . Sin embargo, es posible que $Consis_\Phi$ podría ser refutado de $\Phi$ . Intuitivamente, esto significa que " $\Phi$ demuestra su propia incoherencia". Se podría pensar que esto significa $\Phi$ debe ser incoherente (contrariamente a la suposición de que era coherente), pero no es necesariamente así: las sentencias que $\Phi$ pruebas no tienen que ser necesariamente verdadero (cuando se interpreta en los números naturales). Por ejemplo, si se parte de un conjunto de sentencias $\Phi$ y luego dejar que $\Phi'=\Phi\cup\{\neg Consis_\Phi\}$ entonces $\Phi'$ prueba $\neg Consis_\Phi$ y por lo tanto también $\neg Consis_{\Phi'}$ . Pero $\Phi'$ sigue siendo coherente, exactamente porque $\Phi$ no demostró $Consis_\Phi$ por lo que añadir su negación a la teoría no conduce a una contradicción.

¿Implica el segundo teorema al primero?

No, como ya se ha explicado. El segundo teorema implica una versión más débil del primero en la que se añade un supuesto adicional que implica $\Phi$ no demuestra su propia incoherencia. Por ejemplo, se podría suponer que cada frase de $\Phi$ es en realidad verdadero cuando se interpreta en los números naturales, y así $\Phi$ no puede demostrar ninguna afirmación falsa sobre los números naturales. En particular, puesto que $\neg Consis_\Phi$ es falso (es decir, $\Phi$ no es realmente incoherente), esto significa que $\Phi\not\vdash \neg Consis_\Phi$ .