Encontrar $\lim_{x\to \frac\pi2}\frac{\tan2x}{x-\frac\pi2}$ sin la regla de l'hospital.

Question

Estoy obligado a buscar $$\lim_{x\to\frac\pi2}\frac{\tan2x}{x-\frac\pi2}$$ sin de l'hospital de la regla.

La identidad de $\tan2x$ no ha trabajado.

Amablemente ayuda.

Answer 1

Deje $x=\frac\pi2 + h$

entonces como $x\to \frac\pi2$ $h\to 0$

Por lo tanto

$$\lim_{x\to \frac\pi2}\frac{\tan 2x}{x-\frac\pi2}\\ =\lim_{h\to 0}\frac{\tan 2(\frac\pi2+h)}{\frac\pi2+h-\frac\pi2}\\ =\lim_{h\to 0}\frac{\tan (\pi+2h)}{h}\\ =\lim_{h\to 0}\frac{\tan 2h}{h}\\ =\lim_{h\to 0}\frac{\sin 2h}{2h}\cdot \frac{2}{\cos 2s}\\ =1\cdot \frac{2}{1}=2$$

Answer 2

Usted puede reconocer esto como la definición de la derivada de $\tan 2x$$x = \pi/2$, ya que este es $$ \lim_{x \to \pi/2} \frac{\tan 2x - \tan \pi}{x - \pi/2},$$ lo que hace de este un muy fácil derivado del ejercicio.

Answer 3

Aviso $$\lim_{x\to \pi/2} \frac{\tan 2x}{x-\frac{\pi}{2}}$$ $$=\lim_{x\to \pi/2} \frac{-\tan 2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{x-\frac{\pi}{2}}$$ $$=\lim_{x\to \pi/2} \frac{\tan 2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}$$ $$=\lim_{x\to \pi/2} \frac{2\times \tan 2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}$$ $$=2\times \lim_{x\to \pi/2} \left(\frac{\tan 2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\right)$$ Now, let $2\left(\frac{\pi}{2} x\right)=t\implica t\0 \ \ x\a \frac{\pi}{2}$ $$=2\times \lim_{t\to 0} \left(\frac{\tan (t)}{(t)}\right)$$ $$=2\times 1=2$$

Answer 4

Y aquí hay dos métodos más.

MÉTODO 1: la Explotación de $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

$$\begin{align} \lim_{x\to \pi/2}\frac{\tan 2x}{x-\pi/2}&=\lim_{x\to \pi/2}\frac{2\sin x\cos x}{\cos 2x\,(x-\pi/2)}\\\\ &=\lim_{x\to \pi/2}\frac{2\sin x}{\cos 2x}\frac{\cos x}{x-\pi/2}\\\\ &=\lim_{x\to \pi/2}\frac{2\sin x}{\cos 2x}\frac{-\sin( x-\pi/2)}{x-\pi/2}\\\\ &=\left(\lim_{x\to \pi/2}\frac{2\sin x}{\cos 2x}\right)\left(\lim_{x\to \pi/2}\frac{-\sin( x-\pi/2)}{x-\pi/2}\right)\\\\ &=(-2)\,(-1)\\\\ &=2 \end{align}$$

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MÉTODO 2: Aproximación Asintótica

Recordemos que

$$\tan 2x=2(x-\pi/2)+O((x-\pi/2)^3)$$

Así $$\begin{align} \lim_{x\to \pi/2}\frac{\tan 2x}{x-\pi/2}&=\lim_{x\to \pi/2}\frac{2(x-\pi/2)+O((x-\pi/2)^3)}{x-\pi/2}\\\\ &=\lim_{x\to \pi/2}\left(2+O((x-\pi/2)^2)\right)\\\\ &=2 \end{align}$$

como se esperaba!

Answer 5

Poner $t=x-\pi/2$, podemos reescribir como límite $$\lim_{t\to0}\frac{\tan2 t}{t}=2\lim_{t\to0}\frac{\tan2 t}{2t}=2\cdot1=2$$ por el conocido límite $$\lim_{y\to0}\frac{\tan y}{y}=1$$