EDO no lineal de segundo orden con condiciones de contorno definidas.

Question

El problema es:

$y''(x)-a\cdot(y(x))^2=0, a>0$

S.t. $ y(0)=b, \lim_{x\to\infty } y'(x)=0$

Ese problema resulta de un catalizador que tiene en su interior una reacción química de segundo orden - el libro Transport Phenomena de Bird at. al. contiene esa cuestión. ¿Alguien me puede dar un consejo de cómo proceder para resolver esa EDO no lineal? Es la primera vez que encuentro este tipo de problema.

Answer 1

$$y''-a\:y^2=0\quad\to\quad 2y''y'-2a\:y^2y'=0$$ $$y'^2-\frac{2a}{3}y^3=c_1$$ $$y'=\pm \sqrt{c_1+\frac{2a}{3}y^3}$$ $$dx=\pm\frac{dy}{\sqrt{c_1+\frac{2a}{3}y^3}}\quad\to\quad x=\pm\int \frac{dy}{\sqrt{c_1+\frac{2a}{3}y^3}}$$ Esta integral implica las funciones elípticas, lo que sería bastante arduo.

Por suerte, veremos más adelante que las condiciones de contorno especificadas no son suficientes, lo que significa que son una infinidad de soluciones. Si queremos encontrar fácilmente no todas las soluciones, sino una sola solución, podemos tomarnos la libertad de elegir arbitrariamente $c_1$ por ejemplo $c_1=0$ . Esto supone implícitamente que $\quad y(x\to\infty)\to 0.\quad$ En este caso concreto : $$x=\pm\sqrt{\frac{3}{2a}}\int \frac{dy}{y^{3/2}}=\pm\sqrt{\frac{6}{a\:y}}+c_2$$ $$y=\frac{6}{a(x-c_2)^2}$$ $$y'=-\frac{12}{a(x-c_2)^3}$$ Vemos que la condición $\lim_{x\to\infty } y'(x)=0$ se cumple.

Condición $\quad y(0)=b=\frac{6}{a(-c_2)^2} \quad\to\quad c_2=\pm \sqrt{\frac{6}{ab}}. \quad$ El signo menos se elige para evitar una discontinuidad para $y(x)$ en $x=\sqrt{\frac{6}{ab}}$ $$y(x)=\frac{6}{a\left(x+\sqrt{\frac{6}{ab}}\right)^2}$$ Vemos que se obtiene una solución que satisface la EDO y las condiciones de boudbary especificadas incluso si la constante $c_1$ se eligió arbitrariamente. Esto demuestra que las condiciones especificadas en el enunciado del problema son insuficientes para definir una solución única. La solución anterior es sólo una entre la infinidad de soluciones. Pero probablemente sea la más sencilla.

Answer 2

Para empezar, establezca $y'=z$ para llegar a una ecuación diferencial separable de primer orden.

(Perdón por la respuesta tan corta pero pensé que ya que me pedías un consejo no debía escribir toda la solución).