Hindley & Seldin definen ([1] Definición 4.2, p. 48) los numerales eclesiásticos de la siguiente manera: (Parafraseo para ahorrar espacio. Aquí es la página original).
Por cada $n \in \{0,1,\dots\}$ el número de la Iglesia para $n$ i $$ \overline{n} := (SB)^n(KI) $$ donde utilizamos el ab $$ \begin{align} X^nY &:= \underset{n}{\underbrace{X(X(\dots(X}}Y))) \\ B &:= S(KS)K \end{align} $$
Proceden a afirmar (ibid. Nota 4.4, p. 48) que $\overline{n} = [x,y].x^ny$ para todos $n\neq 1$ .
No veo por qué se sostiene esta afirmación. Por ejemplo, cuando $n=2$ tenemos $$ \begin{align} [x,y].x^ny &= [x].\Big([y].\big(x(xy)\big)\Big) \\ &= [x].\Big(S\big([y].x\big)\big([y].(xy)\big)\Big) \\ &= [x].\big(S(Kx)x\big) \\ &= S\Big([x].\big(S(Kx)\big)\Big)([x].x) \\ &= S\Big(S([x].S)\big([x].(Kx)\big)\Big)I \\ &= S\big(S(KS)K\big)I \\ &= SBI \\ &= (SB)^1I \\ &\neq (SB)^2(KI) \\ &= \overline{n} \end{align} $$
He comprobado el libro de texto oficial lista de erratas pero no aparece en la lista.
¿Qué me falta?
[1] J. Roger Hindley y Jonathan P. Seldin. (2008) Lambda-Calculus y combinadores - Introducción . Cambridge University Press.
