¿Cuál es la distribución de la exponencial de una variable uniformemente distribuida?

Question

Quiero conocer la distribución de $z = \exp(j\varphi)$ con $\varphi \sim \mathcal{U}[-\pi;+\pi]$ .

Del libro "Probability, Random Variables and Stochastic Processes" de Papoulis y Pillai deduje lo siguiente: Si $y=g(x)$ es una función de la variable aleatoria $x$ con la función de densidad $f_x(x)$ se puede obtener la función de densidad $f_y(y)$ de $y$ por $f_y(y)=f_x(x)/|g'(x)|$ . Por lo tanto, si $g(x)=y=exp(x)$ se obtiene $f_y(y)=f_x(ln(y))/|exp(x)|$ . En mi caso con $f_x(x)$ siendo una distribución uniforme.

Por desgracia, aún no he descubierto cómo incluir esta distribución uniforme en la ecuación y, lo que es aún más importante, cómo transferir la solución a variables complejas.

Answer 1

Estás confundiendo exponenciales reales y complejos, y la fórmula jacobiana que citas se aplica a exponenciales reales. Aquí $z$ es una variable aleatoria de valor complejo y si $z$ tiene o no densidad depende del espacio objetivo que se considere y de la medida de referencia que se le ponga. Como variable aleatoria con valores en $\mathbb C\sim\mathbb R^2$ cuya sigma-álgebra de Borel está dotada de la medida bidimensional de Lebesgue $\lambda_2$ , $z$ no tiene densidad ya que $z\in S^1$ casi con seguridad donde el círculo unitario $S^1$ es tal que $\lambda_2(S^1)=0$ . Pero también se puede considerar $z$ como una variable aleatoria con valores en $S^1$ cuya sigma-álgebra de Borel está dotada de su propia medida uniforme unidimensional $\sigma_1$ . Entonces $z$ tiene densidad $1$ con respecto a $\sigma_1$ .