Una condición suficiente para una débil mayorización desde abajo

Question

$\forall x\in \mathbf R^{n+1}$ , dejemos que $x_{(0)}\le x_{(1)}\le\,\cdots\le x_{(n)}$ denotan el reordenamiento no decreciente de $x$ . Supongamos que $x,y\in\mathbf R^{n+1}$ , $$\sum_{i=0}^k x_{i}\le \sum_{i=0}^k y_{i},\quad \forall k\in\{0,1,2,\cdots,n\} \tag1$$ y $$x_{i-1}\le y_i,\quad\forall i\in\{1,2,\cdots,n\}. \tag2$$ Mostrar $$\sum_{i=0}^k x_{(i)}\le \sum_{i=0}^k y_{(i)},\quad \forall k\in\{0,1,2,\cdots,n\}. \tag3$$

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Aquí está mi intento de la prueba con un obstáculo que no logro superar.

Sea $l_i$ sea la permutación de $\{0,1,2,\cdots,n\}$ tal que $y_{(i)}=y_{l_i},\, \forall i\in\{0,1,2,\cdots,n\}$ . Para cualquier $k\in\{1,2,\cdots,n\}$ , $$\sum_{i=0}^k (y_{(i)}-x_{(i)})=I\big(0\in\{l_i|i\in\{0,1,\cdots,k\}\}\big)(y_0-x_{(k)})+\sum_{\substack{i=0\\l_i\neq0}}^k (y_{l_i}-x_{l_i-1})+\Big(\sum_{\substack{i=0\\l_i\neq0}}^k x_{l_i-1}-\sum_{i=0}^{k-1}x_{(i)}\Big)$$ donde $I$ representa la función característica. Cada término del primer sumando del lado derecho de la ecuación anterior es no negativo por desigualdad $(2)$ . El término del segundo paréntesis es no negativo en virtud de la definición de $x_{(i)}$ . Presumiblemente debería utilizar Desigualdad $(1)$ para demostrar la no negatividad del primer término de la ecuación anterior. Pero no veo cómo.

Answer 1

Fedor Petrov demostró la proposición . Aquí vuelvo a exponer su prueba con algo más de detalle.

La desigualdad es equivalente a la afirmación de que la suma de cualquier $k$ $y$ 's no es menor que la suma de algunos $k$ $x$ 's.

Fijar un subíndice $k$ . Sea $Y_k$ sea el conjunto de arbitrarias o el más pequeño $k$ $y$ 's. En ese conjunto, encuentra el mayor subíndice $p$ tal que $\{y_0,y_1,\cdots,y_p\}$ está contenida en él. $$\sum_{i=0}^p x_i\le\sum_{i=0}^p y_i.$$ Sea el conjunto de los subíndices de los restantes $y$ 's en $Y_k$ sea $I$ . $p<i, \forall i\in I$ . Por Inquality $(2)$ , $$\sum_{i\in I}x_{i-1}\le \sum_{i\in I}y_i.$$ Hemos completado nuestra prueba.