El $ l^{\infty} $ -es igual al límite de la $ l^{p} $ -normas.

Question

Si estamos en un espacio secuencial, entonces el $ l^{p} $ -norma de la secuencia $ \mathbf{x} = (x_{i})_{i \in \mathbb{N}} $ es $ \displaystyle \left( \sum_{i=1}^{\infty} |x_{i}|^{p} \right)^{1/p} $ .

El $ l^{\infty} $ -norma de $ \mathbf{x} $ es $ \displaystyle \sup_{i \in \mathbb{N}} |x_{i}| $ .

Demostrar que el límite de la $ l^{p} $ -normas es el $ l^{\infty} $ -normas.

He visto una respuesta para $ L^{p} $ -espacios, pero necesito uno para $ l^{p} $ -espacios. Además, no entendía muy bien el $ L^{p} $ -responde cualquiera de los dos.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Permítanme exponer el resultado correctamente:

Dejemos que $x=(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^q$ para algunos $q \geq 1$ . Entonces $$\|x\|_{\infty} = \lim_{p \to \infty} \|x\|_p. \tag{1}$$

Tenga en cuenta que $(1)$ no se sostiene, en general, si $x=(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \notin \ell^q$ para todos $q \geq 1$ (considere por ejemplo $x_n := 1$ para todos $n \in \mathbb{N}$ .)

Prueba del resultado: Dado que $$|x_k| \leq \left(\sum_{j=1}^{\infty} |x_j|^p \right)^{\frac{1}{p}}=\|x\|_p$$ para todos $k \in \mathbb{N}$ , $p \geq 1$ tenemos $\|x\|_{\infty} \leq \|x\|_p$ . Así, en particular $$\|x\|_{\infty} \leq \liminf_{p \to \infty} \|x\|_p. \tag{1}$$

Por otro lado, sabemos que $$\|x\|_p = \left( \sum_{j=1}^{\infty} |x_j|^{p-q} \cdot |x_j|^q \right)^{\frac{1}{p}} \leq \|x\|_{\infty}^{\frac{p-q}{p}} \cdot \left( \sum_{j=1}^{\infty} |x_j|^q \right)^{\frac{1}{p}} = \|x\|_{\infty}^{1-\frac{q}{p}} \cdot \|x\|_q^{\frac{q}{p}}$$ para todos $q<p$ donde utilizamos $|x_j| \leq \|x\|_{\infty}$ para todos $j \in \mathbb{N}$ . Por lo tanto, llegamos a

$$ \limsup_{p \to \infty} \|x\|_p \leq \limsup_{p \to \infty} \left( \|x\|_{\infty}^{1-\frac{q}{p}} \cdot \|x\|_q^{\frac{q}{p}}\right) = \|x\|_{\infty} \cdot 1. \tag{2}$$

Por lo tanto, $$\limsup_{p \to \infty} \|x\|_p \leq \|x\|_{\infty} \leq \liminf_{p \to \infty} \|x\|_p.$$ Esto demuestra que $\lim_{p \to \infty} \|x\|_p$ existe y es igual a $\|x\|_{\infty}$ .