Los conjuntos de Chebyshev de dimensión finita son cerrados y convexos

Question

Demostrar una inversa finito-dimensional al "teorema de la mejor aproximación": Sea $K$ sea un subconjunto de un espacio de Hilbert de dimensión finita $H$ que cumple la siguiente propiedad: para cada $x \in H$ existe un único punto $y \in K$ tal que $d(x, y) = d(x, K)$ (los conjuntos con esta propiedad son denominan conjuntos de Chebyshev). Entonces el conjunto $K$ es cerrado y convexo.

Sería útil señalar por qué este resultado es sólo para espacios de dimensión finita.

Answer 1

Aquí está mi prueba: es bastante elemental pero en la prueba de convexidad hay muchos puntos con nombre, así que un dibujo puede ayudar (incluido al final).

Prueba del carácter cerrado : Supongamos que $K$ es Chebyshev, y elegimos $\alpha\in K^c$ . Hay entonces $\beta\in K$ tal que $d(\alpha,\beta)=d(\alpha,K)$ . En particular $\alpha \not = \beta$ y así $d(\alpha, K)>0$ . Así $\alpha$ es un punto interior de $K^c$ . Desde $\alpha$ era arbitraria, $K^c$ está abierto y, por tanto $K$ está cerrado.

Prueba de la convexidad : Supongamos ahora por contradicción que $K$ no es convexa. Entonces hay $x,y\in K$ tal que el segmento de línea que los une contiene puntos que no están en $K$ . Desde $K$ es cerrado, sin pérdida de generalidad podemos suponer que hay no puntos de $K$ entre $x$ y $y$ (la intersección de $K^c$ y el segmento de línea es una colección contable no vacía de intervalos abiertos, por lo que podemos elegir uno de tales intervalos).

Sea $z:=(x+y)/2$ . Por elección de $x,y$ tenemos $z\in K^c$ . Desde $K$ es Chebyshev debe haber un punto $w\in K$ con $0<d(z,K) = d(z,w)<d(z,x)$

Considere la línea $L:=\{\lambda w + (1-\lambda)z:\lambda \in \mathbb{R}\}$ . Invocamos ahora la inversa del teorema que intentamos demostrar, para concluir que $L$ es un conjunto de Chebyshev. Así que hay proyecciones únicas $x' := \lambda_x w + (1-\lambda_x)z$ y $y' := \lambda_y w + (1-\lambda_y)z$ de $x$ y $y$ en $L$ respectivamente.

Afirmo que $\lambda_x=-\lambda_y$ . Esto se deduce del teorema de congruencia "ángulo-ángulo-lado" de la geometría elemental, es decir, $\triangle xzx' \cong\triangle yzy'$ . En particular, al menos uno de $\lambda_x,\lambda_y$ es $\leq 0$ (también podemos llegar a este hecho por contradicción utilizando la desigualdad del triángulo). Por simetría, digamos $\lambda_x\leq 0$ . Es decir, $x'$ no está entre $z$ y $w$ ni está en el $w$ lado de la línea.

Por lo que ha precedido, $0<d(x,x')\leq d(x,z)$ . Por el teorema de Pitágoras podemos ahora encontrar un punto en $L$ (y en $K^c$ ) equidistante a $w$ y $x$ y con $\lambda<0$ . Esto por sí mismo no es una contradicción, pero lo que significa es que si dividimos $\{\lambda w + (1-\lambda)z:\lambda <0\}$ en conjuntos $A$ y $B$ donde los puntos de $A$ proyectar en $K$ en $w$ y puntos de $B$ proyectar sobre otro punto de $K$ entonces $B\not = \emptyset$ .

Por último $s=\lambda_sw + (1-\lambda_s)z$ donde $\lambda_s=\inf\{\lambda:\lambda<0,\lambda w+(1-\lambda)z \in B\}$ . En otras palabras, $s$ es el punto más cercano a $z$ en $L$ (en dirección opuesta a $w$ ) que está en $B$ o el límite de una secuencia en $B$ . De hecho, voy a demostrar que $s\in B$ actualmente. Deje que $\{s_k\}_{k\geq 1}$ sea una secuencia de puntos en $B$ convergiendo hacia $s$ . Existe entonces una secuencia correspondiente $\{t_k\}_{k\geq 1}$ de proyecciones sobre $K$ Eso es, $s_k \mapsto t_k$ es el mapa de proyección.

Todos $\{t_k\}_{k\geq1}$ está contenida dentro de una bola convenientemente grande alrededor de $s$ . Recuperar $K$ es cerrada, por lo que por la propiedad de Bolzano Weierstrass, existe una subsecuencia convergente $\{t_{k_i}\}_{i\geq 1}$ donde $t_{k_i}\to t$ como $i\to \infty$ . De hecho, aquí es donde la prueba se rompe en el caso dimensional infinito, ya que tal subconjunto cerrado y acotado no es totalmente acotado. Por el cierre de $K$ , $t\in K$ y por continuidad de la función distancia, tenemos también $s$ proyectos en $t$ . Así que $s\in B$ .

A partir de aquí la contradicción es evidente, ya que debe darse el caso de que $d(s,t) = d(s,w)$ . Hemos establecido que $s$ proyectos en $t$ pero $t$ no es el único punto más cercano de $K$ a $s$ contradiciendo el hecho de que $K$ es Chebyshev.