¿Podemos establecer las siguientes desigualdades

Question

Sea $A$ y $B$ sean ambos conjuntos de números reales. Sea $A \times B$ sea $\{xy | x \in A, y \in B\}$ . Podemos establecer lo siguiente:

$sup\{A\}sup\{B\} \leq sup\{A\times B\}$

y

$inf\{A\}inf\{B\} \geq inf\{A\times B\}$

Me he esforzado por encontrar contraejemplos, pero no he sido capaz de dar con ninguno. ¿Son ciertas esas desigualdades?

Answer 1

Elija $(a_{n})\subseteq A$ , $(b_{n})\subseteq B$ tal que $a_{n}\rightarrow\sup A$ y $b_{n}\rightarrow\sup B$ entonces $\sup(AB)\geq a_{n}b_{n}$ tomando como límite $n\rightarrow\infty$ entonces $\sup(AB)\geq(\sup A)(\sup B)$ .

Si definimos $0\cdot\infty=0$ sigue pasando: Para $\sup A=\infty$ y $\sup B=0$ y, a continuación, elegir $a\in A$ , $a>0$ , $(b_{n})\subseteq B$ , $b_{n}\rightarrow 0$ entonces $\sup(AB)\geq ab_{n}$ tomando como límite $n\rightarrow\infty$ tenemos $\sup(AB)\geq 0=(\sup A)(\sup B)$ .

Answer 2

Con muchas igualdades en Análisis, suele ser relativamente fácil obtener una dirección directamente; pero la otra dirección es mucho más difícil de hacer directamente, así que hacemos todas las aproximaciones que podemos con $\epsilon$ para tener algo de margen de maniobra.

Arreglar cualquier $\epsilon > 0$ . Por la definición de supremum existen $a \in A, b \in B$ con $\sup A - \epsilon < a $ y $\sup B - \epsilon < b $ . Multiplicando estas desigualdades obtenemos $\sup A \sup B + \epsilon (\epsilon - \sup A - \sup B) \le ab \le \sup( A \times B)$ . Así, puesto que $\sup A \sup B + \epsilon (\epsilon - \sup A - \sup B) \le \sup(A \times B)$ para cada $\epsilon > 0$ tenemos que $\sup A \sup B \le \sup(A \times B)$