En $p(a) = p(b) \Rightarrow a=b \ $ ?

Question

Sea $S = (P_1,P_2, \ldots,P_n)$ sea un conjunto de polinomios con coeficientes complejos.

Llamo S crítico si el conjunto de soluciones de $\{P_n(a) = P_n(b)\forall n \}$ en $\Bbb C^2$ es $\{ (a=b) \cup (\text{some finite points in }\Bbb C^2)\}$ Llamo a un conjunto conjunto crítico mínimo si es un conjunto crítico pero ningún subconjunto propio de él es crítico.

Ejemplos de conjuntos críticos mínimos son (a*z +b) ( $z^2, z^3$ ) o ( $z^2 +z, z^4$ )

La pregunta es ¿existen conjuntos críticos mínimos de cardinalidad n para cada n? por ejemplo ¿cuales son los ejemplos para n=3,4 con prueba?

Es fácil encontrar subconjuntos infinitos T de polinomios que no tengan ningún subconjunto crítico mínimo, por ejemplo $\{P(z^2)\ \forall P\}$ pero, ¿existe alguna condición para tales conjuntos?

Answer 1

Sea $m=2\cdot 3\cdot 5\cdots p_n$ sea el producto de la primera $n$ primos. Sea $P_k(x)=x^{m/p_k}$ . Entonces $P_k(a)=P_k(b)$ implica $|a|=|b|$ y (suponiendo que sean distintos de cero) $\zeta:=\frac ab$ es un $\frac m{p_k}$ raíz de la unidad, es decir, el orden de $\zeta$ es un divisor de $\frac m{p_k}$ . Por lo tanto, si $P_k(a)=P_k(b)$ para todos $k$ concluimos que el orden de $\zeta$ es $1$ es decir $a=b$ . De ahí que el conjunto sea crítico.

Por otra parte, si sólo una $k$ falta, entonces $b=\xi a$ con $\xi$ un no trivial $p_k$ a raíz de la unidad da infinitas soluciones, es decir, ningún subconjunto adecuado de los anteriores es crítico.