Regularidad elíptica para el problema de Neumann

Question

Estoy tratando de entender cómo establecer la regularidad para ecuaciones elípticas en dominios acotados con datos de Neumann.

Para simplificar, supongamos que nos centramos en $-\Delta u = f$ en $\Omega$ y $\frac{\partial u}{\partial \nu} = 0$ en $\partial \Omega$ . La regularidad interior funciona igual que siempre.

Al demostrar la regularidad de la frontera, para el caso de la frontera dirichlet consideramos primero alguna bola $B(0,1) \cap \mathbb{R}_+^n$ y que $\xi = 1$ en $B(0,1/2)$ , $\xi = 0$ en $\mathbb{R}^n - B(0,1)$ y luego estimar todas las derivadas $\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}$ excepto $\partial^2 u/\partial x_n^2$ . Se necesitan dos puntos principales

1) $\xi$ desaparece en la parte curva de $B(0,1) \cap \mathbb{R}_+^n$ \

2) $u=0$ en $\{x_n=0\}$ .

Esto nos permite $-\partial_{x_i} (\xi \partial_{x_j} u)$ (sustituyendo las derivadas por cocientes de diferencias) sea una función de prueba admisible para nuestra definición débil de solución.

Supongo la principal dificultad en los datos de frontera neumann es hacer que su función de prueba sea admisible . En otras palabras, necesitaríamos $\int v = 0$ desde que se estableció nuestra existencia en $H^1(\Omega)$ restringido a funciones de valor medio cero.

Así que para proceder, ¿podemos restar una constante de nuestro original $-\partial_{x_i}(\xi \partial_{x_j}u)$ ? ¿Hay alguna forma más natural de establecer la regularidad en este caso? Sin embargo, no quiero aprovechar el hecho de que tenemos una función de Green en este caso, ya que sólo elegí la ecuación de Laplace por simplicidad.

Answer 1

En el caso que mencionas, queremos evitar este enfoque de cocientes de corte/diferencia, ya que podría ser difícil demostrar que $\partial_{x_i} (\xi \partial_{x_j} u)$ es una función de prueba válida. En general, cuando se trabaja con la teoría de la regularidad, otro enfoque estándar es utilizar un "problema aproximado". Sin embargo, el tipo de problema aproximado depende, por supuesto, de la EDP. Para el problema tipo Neumann sugiero la siguiente aproximación:

Obsérvese en primer lugar que $\int_\Omega f = 0$ podemos construir fácilmente una secuencia $\{f_n\} \subset C^\infty(\Omega)$ tal que $f_n \to f$ en $L^2(\Omega)$ y $\int_\Omega f_n=0, \ \forall n \in \mathbb{N}$ . Entonces consideramos $u_n \in C^\infty(\Omega)$ tal que

$(*) -\Delta u_n + \frac{1}{n} u_n = f_n, \mbox{ in } \Omega \ \ $ y $\dfrac{\partial u_n}{\partial \nu}=0 \ , \mbox{on }\partial \Omega.$

La secuencia $\{ u_n \}$ se puede obtener mediante el uso del Teorema 2.2.2.5, p.91 y el Teorema 2.5.1.1, p. 121 del Libro de Grisvard p. 91. De hecho, basta con utilizar un argumento boostrap para $-\Delta u_n = -\frac{1}{n} u_n + f_n$ .

Observe que $\int_\Omega u_n=n\int_\Omega f_n = 0$ .

Ahora, utiliza $u_n$ como sus funciones de prueba y obtenga la siguiente estimación:

$(**) \|\nabla u_n\|_{L^2}^2 \leq \|f_n\|_{L^2}^2$ , $\forall \ n \in \mathbb{N}$

Ahora utiliza $-\Delta u_n $ como función de prueba para su PDE ( observe que $-\Delta u_n$ es una función de prueba válida, de todas formas no necesitamos preocuparnos por ella ya que la ecuación aproximada se cumple en todas partes).

Después de integrar por partes, utilizando $(**)$ con algunas manipulaciones estándar con sus términos de frontera usted termina con

$\|D^2 u_n \|_{L^2}^2 \leq C(\partial \Omega)\|f_n\|_{L^2}^2$ , $\forall \ n \in \mathbb{N}$ . (Por ejemplo, véase el libro de Grisvard p.132-138, en particular la ec. 3.1.1.5)

El punto clave para la estimación anterior es controlar los elementos de contorno en función de la curvatura media de $\partial \Omega$ .

Ahora bien, puesto que $\int_\Omega u_n =0$ concluimos que $\|u_n \|_{H^2}^2 \leq C(\partial \Omega)\|f_n \|_{L^2}^2 $

para que

$\|u_n \|_{H^2}^2 \leq C(\partial \Omega) \|f\|^2$ El $L^2$ norma de $f$ .

De esta forma obtenemos $u\in H^2$ tal que $u_n \to u$ débilmente en $H^2$ y fuertemente en $H^1$ .

Obsérvese que esta última convergencia es suficiente para manejar el término $\dfrac{1}{n}u_n$ . Entonces, podemos pasar al límite en la ecuación (*) de modo que $u$ es una solución fuerte de

$-\Delta u = f$ en $\Omega$

$\dfrac{\partial u}{\partial \nu}=0$ en $\partial \Omega$

con $\|u\|_{H^2} \leq C(\partial \Omega) \|f\|$ El $L^2$ norma de $f$ .

Answer 2

Es cierto que para demostrar la existencia para el problema de Neumann se trabaja en el espacio $X=\{v\in H^1(\Omega):\, \int_\Omega v\,dx=0\}$ y por tanto una solución débil $u$ satisface $$\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,dx=\int_\Omega fv\,dx$$ para todos $v\in X$ . Sin embargo, si toma $w\in H^1(\Omega)$ y considerar la función $v=w-\frac1{|\Omega|}\int_\Omega v\,dy$ obtienes $$\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla w\,dx=\int_\Omega f\left(w-\frac1{|\Omega|}\int_\Omega v\,dy\right)\,dx=\int_\Omega fw\,dx-0$$ desde $\int_\Omega f\,dx=0$ . Así que realmente se puede trabajar en todo el espacio $H^1(\Omega)$ en lugar de en el espacio más pequeño $X$ . Los cocientes de diferencias funcionan bien, ya que la restricción ha desaparecido. Si $\Omega=B^+(0,1)$ puedes hacer cocientes de diferencias en las direcciones tangenciales $e_i$ , $i=1,\cdots, n-1$ (por lo que no es necesario suponer $u=0$ en $\{x_n=0\}$ ) para demostrar que todas las segundas derivadas menos $\partial^2 u/\partial x_n^2$ están en $L^2 (B^+(0,1/2))$ y entonces se utiliza la ecuación (que se satisface puntualmente a.e. por regularidad interior) para concluir que también $\partial^2 u/\partial x_n^2$ está en $L^2 (B^+(0,1/2))$ .