Relación entre los aislantes topológicos y la ruptura de la simetría de inversión temporal

Question

Siempre que se habla de aislantes topológicos se menciona la ruptura de la simetría de inversión temporal.

¿Existe alguna razón intuitiva que explique por qué es necesario que se rompa la simetría de inversión temporal para que aparezcan efectos topológicos?

Answer 1

La forma más sencilla de entenderlo es la siguiente: Los sistemas de los que oyes hablar a la gente suelen ser la IQHE o análogos de ella. En este caso, el espacio tiene dos dimensiones y la invariante (de masa) es la conductividad Hall. Si $P$ es su proyección de Fermi (derivada de un Hamiltoniano $H$ ), entonces la conductividad Hall viene dada (hasta una constante) por \begin{align} \sigma_H(P) &= \mathrm{index}(PUP+P^{\perp}) \end{align} donde $U:=\exp(i \arg(X_1+i X_2))$ y $X_i$ son los operadores de posición, y $\mathrm{index}(F) \equiv\dim\ker F - \dim\ker F^\ast$ . Obsérvese que esta fórmula es equivalente a la integral habitual sobre la curvatura de Berry y está asociada a una inserción de flujo magnético en el origen para implementar el campo eléctrico.

Ahora bien, si tu sistema tiene simetría de inversión temporal, entonces hay algún operador antiunitario $\Theta$ que se cuadra con $-1$ (para fermiones) que conmuta con $H$ y, por tanto, también con $P$ : $[P,\Theta]=0$ . Estos dos hechos implican $$P = -\Theta P \Theta\,.$$ Desde $\Theta$ conmuta con el operador de posición y es antiunitario, tenemos $\Theta U \Theta = -U^\ast$ . Por lo tanto, con $F:=PUP+P^{\perp}$ encontramos \begin{align}F &\equiv PUP+P^{\perp} \\ &= (-\Theta P \Theta)U(-\Theta P \Theta)-\Theta P^{\perp}\Theta \\ &= -\Theta(P(-\Theta U \Theta) P + P^\perp)\Theta \\ &= -\Theta(P U^\ast P + P^\perp)\Theta \\ &= -\Theta(P U P + P^\perp)^\ast\Theta \\ &= -\Theta F^\ast \Theta\,.\end{align}

Pero ahora se puede utilizar una propiedad de $\mathrm{index}$ que es eso: (1) Es logarítmico $\mathrm{index}(AB) = \mathrm{index}(A) + \mathrm{index}(B)$ ; (2) Es cero en isomorfismos $\mathrm{index}(A) = 0 $ si $A$ es un isomorfismo; (3) Claramente de $\mathrm{index}(F) \equiv\dim\ker F - \dim\ker F^\ast$ es evidente que $\mathrm{index}(F^\ast) = -\mathrm{index}(F)$ . Desde $\Theta$ es un isomorfismo al igual que $-\mathrm{Id}$ (multiplicación por $-1$ ), concluimos que $$\mathrm{index}(PUP+P^{\perp}) = 0$$ para todas las invariantes $P$ ¡! Por eso la gente se esfuerza tanto en romper la inversión temporal. O eso, o buscar invariantes diferentes (es decir, no la conductividad Hall).