Algunas preguntas sobre Hartshorne III Ex 6.8

Question

Llevo casi una semana mirando el ejercicio 6.8 de Hartshorne III y parece que no tengo ni idea de cómo hacerlo. En particular, estoy atascado en la parte (a) que se reduce a mostrar lo siguiente.

Sea $X$ ser integral, separada y localmente factorial. Sea $U$ sea cualquier vecindad abierta de un punto cerrado $x$ . Supongamos que $Z := X- U$ es irreducible con punto genérico $\zeta$ . Entonces existe un haz de líneas $\mathcal{L}$ y $s \in H^0(X,\mathcal{L})$ con $x \in X_s \subseteq U$ .

Ahora me he convencido usando la separación de $X$ que podemos elegir una función racional $f$ con la propiedad de que $f \in \mathcal{O}_{X,x}$ y $f \notin \mathcal{O}_{X,\zeta}$ . Con esto, deducimos inmediatamente que para cualquier $z \in Z$ , $f \notin \mathcal{O}_{X,z}$ porque tenemos una inyección

$$ \mathcal{O}_{X,z} \hookrightarrow \mathcal{O}_{X,\zeta}.$$

Edita:

Ok aquí hay un argumento que creo que funciona. No es difícil ver que $$H^0(X,\mathcal{L}(D)) = \{ f \in K(X)^\ast : div(f) + D \geq 0\} \cup \{0\},$$ es decir, todas las funciones racionales cuyos polos no son peores que $D$ . En su interior se encuentra la sección racional canónica $s$ correspondiente a $1 \in K(X)^\ast$ . Ahora quiero decir que este $s$ tiene ceros allí donde $f$ tiene un poste. Si miro un ejemplo concreto, veo que esto es cierto. Si miro $\Bbb{A}^1$ y $D= (f)_{\infty}$ para $f = 1/(x-1)(x-2)$ entonces $$\mathcal{L}(D) = \frac{1}{(x-1)(x-2)} \mathcal{O}_X$$

y la sección canónica $1$ corresponde a $\frac{1}{(x-1)(x-2)} \times (x-1)(x-2).$ Esto "se nota" allí donde $f$ tiene un poste, $s$ tiene un cero. Esto es suficiente para concluir que $Z \subseteq V(s)$ porque $f \notin \mathcal{O}_{X,z}$ para todos $z \in Z$ .

Pero ahora estamos en un esquema arbitrario que satisface las condiciones del principio, así que:

Mi pregunta es: ¿Cómo hacer rigurosa la idea de que allí donde $f$ tiene un polo $s$ tiene un cero? Además, ¿dónde utilizamos la hipótesis factorial local? ¿Es sólo para hacer que $\mathcal{L}(D)$ ser invertible?

Añadido: ¿Puede alguien explicar con más detalle qué es exactamente esta "sección canónica" $1 \in H^0(X,\mathcal{L}(D))$ ¿lo es?

Answer 1

En cuanto a la sección $1$ de de $\mathcal L(D)$ He discutido esto aquí pero no estará de más recordar algunos ideas.

Para entenderlo, creo que ayuda considerar primero cómo convertir un haz de líneas arbitrario (con una sección) en uno de la forma $\mathcal L(D)$ . Por lo tanto, comience con un paquete de líneas $\mathcal L$ y una sección (regular --- pero esto equivale a distinta de cero cuando la base es integral) $s$ , cortando un divisor de Cartier efectivo $D$ como su lugar cero.

Supongamos ahora que $s'$ es cualquier otra sección de $\mathcal L$ . La relación $s'/s$ es entonces una función racional en la base $X$ y además tiene polos contenidos en $D$ (porque lejos de $D$ la sección $s$ no desaparece, por lo que la relación $s'/s$ es en realidad una función regular, no sólo racional).

Por el contrario, si $f$ es una función racional cuyos polos están contenidos en $D$ , entonces $f s$ es una sección bien definida de $\mathcal L$ (los posibles polos de $f$ se anulan por el hecho de que $s$ desaparece a lo largo de $D$ ).

Así obtenemos un isomorfismo entre el espacio de secciones de $\mathcal L$ , y el espacio de las funciones racionales cuyos polos están contenidos en $D$ . Además, la sección original $s$ corresponde a la función racional $1$ .

A la inversa, si partimos de un divisor de Cartier efectivo $D$ podemos convertirla en la sección cero de un haz de rectas invirtiendo la construcción anterior: vamos a declarar que las secciones del haz de rectas son las funciones racionales que tienen polos contenidos en $D$ (esto tiene sentido, porque en primer lugar podemos restringir nuestra atención a algún subconjunto abierto $U \subset X$ simplemente intersecando $D$ con $U$ y hablando de funciones racionales en $U$ con polos contenidos en $U \cap D$ por lo que realmente estamos describiendo un gavilla).

Que obtengamos una gavilla invertible se deduce del hecho de que $D$ es un Cartier divisor. Y ahora un poco de pensamiento muestra que la función racional $1$ , cuando pensamos en ella como una sección del haz $\mathcal L(D)$ tenemos que acabamos de construir, desaparece precisamente a lo largo de $D$ .

Por cierto, creo que ésta es una de las construcciones más asombrosas de la geometría algebraica: que empezando sólo con un divisor, que es un objeto muy específico y localizado, se puede producir el haz de líneas mucho más amorfo $\mathcal L(D)$ que, junto con la sección asociada $s$ devuelve $D$ y cuyas otras secciones describen todas las formas de deformar $D$ (en su clase de equivalencia lineal). Y a la inversa, dado algo amorfo como un haz de líneas, eligiendo una sección se puede convertir en algo mucho más específico y práctico: un divisor particular $D$ .