No es necesario calcular una resolución completa de $\Bbb Z$ - una secuencia exacta corta es suficiente para resolver el problema si eres inteligente al respecto.
Sea $\def\cF{\mathcal{F}} \def\ZZ{\mathbb{Z}} \def\RR{\mathbb{R}} \def\cQ{\mathcal{Q}} \def\G{\Gamma} \def\coker{\operatorname{coker}} \cF$ sea la gavilla flasque que asigna a cada $U\subset S^1$ el conjunto de todas las funciones $U\to\RR$ . Insertar $\ZZ\to\cF$ de la forma obvia y dejar que $\cQ$ sea el cociente. Tomando la secuencia exacta larga en cohomología que surge de $$0\to \ZZ\to \cF\to \cQ\to 0,$$ observamos que $H^1(S^1,\cF)=0$ que implica $H^1(S^1,\ZZ)=\coker(\G(S^1,\cF)\to\G(S^1,\cQ))$ . Por el ejercicio II.1.3, cualquier sección $s\in\G(S^1,\cQ)$ es la imagen de una familia $\{(s_i,U_i)\}_{i\in I}$ con $s_i\in\cF(U_i)$ donde $U_i$ forman una cubierta abierta de $S^1$ y $(s_i-s_j)|_{U_i\cap U_j}$ es una sección de $\ZZ_{U_i\cap U_j}$ . Desde $S^1$ es compacta, podemos suponer $I$ es finito; después de subdividirlo, desechar los elementos redundantes y reordenarlo, podemos suponer que nuestra cobertura está formada por subconjuntos abiertos conectados, de modo que $U_i$ sólo se cruza con $U_{i-1}$ y $U_{i+1}$ con índices interpretados modulo $|I|$ .
Ahora afirmo que basta con considerar $|I|=3$ . Sea $n_{i+1}$ sea el valor de $s_{i+1}-s_i$ en $U_i\cap U_{i+1}$ . Sustitución de $s_{i+1}$ con $s_{i+1}-n_{i+1}$ que no cambia la imagen de $s_{i+1}$ en $\cQ(U_{i+1})$ vemos que $s_i=s_{i+1}$ en $U_i\cap U_{i+1}$ . Por lo tanto, podemos pegar $s_i$ y $s_{i+1}$ para formar una sección de $\cF$ en $U_i\cup U_{i+1}$ sin cambiar su imagen en $\cQ$ . Repitiendo este proceso para $i=3,\cdots,|I|-1$ vemos que podemos pegar las secciones $s_i$ en $U_3\cup\cdots\cup U_{|I|}$ para que sólo estemos mirando $\{(s_1,U_1),(s_2,U_2),(s_3,U_3\cup\cdots\cup U_{|I|})\}$ .
Si tenemos una sección $\{(s_1,U_1),(s_2,U_2),(s_3,U_3)\}$ por la misma lógica podemos suponer que $s_1=s_2$ en $U_1\cap U_2$ y $s_2=s_3$ en $U_2\cap U_3$ . Por lo tanto hasta añadir una sección global de $\cF$ las secciones globales de $\cQ$ son exactamente los de la forma $\{(0,U_1),(0,U_2),(n,U_3)\}$ para $n\in\ZZ$ y abre $U_i$ satisfaciendo nuestros supuestos de ordenación e intersección. Puesto que dos secciones cualesquiera son equivalentes hasta un elemento de $\G(S^1,\cF)$ si su $n$ s coinciden, vemos que el cokernel es exactamente $\ZZ$ .
