Matemáticas prueba de que el voltaje RMS veces la corriente RMS da una potencia media

Question

Sé que esto es verdad porque yo lo leí en una fuente de confianza. Yo también entender intuitivamente que la potencia es proporcional al cuadrado del voltaje o de la corriente para una carga resistiva, y que la "S" en la RMS es para "plaza". Estoy buscando una dura prueba matemática.

Vamos a \$I_i\$ el valor de la corriente en el instante \$i\$, y del mismo modo \$V_i\$ indica el voltaje en ese instante. Si podemos medir el voltaje y la corriente en todos los instantes, y hay \$n\$ instantes, entonces significa que la potencia aparente es:

$$ P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i $$

¿Qué es una elegante demostración matemática de que

$$ P = I_{RMS} V_{RMS} $$

se obtiene el mismo resultado para cargas resistivas?

Answer 1

La ley de Ohm $$ 1: V(t) = I(t)R $$

Instantánea de la disipación de potencia es el producto del voltaje y la corriente $$ 2: P(t) = V(t)I(t)\\ $$

El sustituto de 1 a 2 para obtener energía instantánea a través de un resistor en términos de voltaje o corriente: $$ 3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\ $$

La potencia media es definitionally la integral de la potencia instantánea en un período, dividido por ese período. Sustituir 3 en que para obtener la potencia media en términos de voltaje y corriente. $$ 4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\ $$

Definición de corriente RMS $$ 5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\ $$ Plaza de los dos lados $$ 6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\ $$ Multiplicar por R para encontrar la ecuación (4) para la potencia media $$ 7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\ $$ Definición de voltaje RMS $$ 8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\ $$ Plaza de los dos lados $$ 9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\ $$ Dividir por R para encontrar la ecuación (4) para la potencia media $$ 10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\ $$ Se multiplican las expresiones de 7 y 10 para la potencia media $$ 11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\ $$ La raíz cuadrada de ambos lados $$ 12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\ $$ Q. E. D.

Answer 2

La simple prueba (en el discretos de muestreo de caso en la pregunta) es por la sustitución de E/R para I en la ecuación RMS

$$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$$

y muy simple de álgebra.

Y sí, esto es cierto ya que se especifica que hemos puramente resistiva de la carga por lo que no hay ángulo de fase de la cuestión y no armónica presente en yo, el que no está presente también en E.

EDITAR

definición de RMS para los puntos discretos (de Wikipedia): $$ x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$$

por lo $$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

y $$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$$

y por la Ley de Ohm $$I_i = V_i/R$$ sustitución:

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$$

entonces:

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$$

Tirando de la 1/R^2

$$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

así:

$$V_{RMS} * I_{RMS} $$ es:

$$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$$

la distribución de la 1/R:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$$

Usando la Ley de Ohm sustitución de nuevo:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$$

que es:

$$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i $$

Answer 3

La clave es que, para una carga resistiva, el voltaje y la corriente están en fase.

Si el voltaje y la corriente son tanto \$\sin(t)\$, entonces su producto está dada por la igualdad \$\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)\$. El poder es una onda sinusoidal de dos veces la frecuencia, que oscila alrededor de \$1/2\$. Este es su promedio a lo largo del tiempo (la "media" de la "plaza"). La raíz de la media de la plaza es \$\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707\$. Que es de donde obtenemos que el número mágico.

La media de la raíz cuadrada de la tensión o la corriente de la DC equivalente de voltaje y corriente que va a producir la misma disipación de potencia a lo largo del tiempo. Si el promedio de la disipación de energía es \$1/2\$ W, entonces, como una disipación de energía puede ser de manera constante producido por \$\sqrt{2}/2\$ VDC multiplicado por \$\sqrt{2}/2\$ a UN DC.

Si la corriente y el voltaje están fuera de fase de 90 grados (puro carga reactiva), entonces podemos pensar que uno como ser \$\cos(t)\$ y el otro ser \$\sin(t)\$. Aplicable la igualdad es entonces \$\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)\$. El poder de la forma de onda no es "parcial" a oscilar alrededor de \$1/2\$; su media es cero: flujos de energía dentro y fuera de la carga en alterna de la mitad de los ciclos, como el poder de la forma de onda oscilaciones positivas y negativas.

Así que para responder a la pregunta, el RMS del voltaje y la corriente se define en función de la potencia media: cada uno se deriva de la raíz cuadrada de la potencia media. Multiplicar dos valores que se obtienen a partir de la raíz cuadrada de la potencia media, se recupera de potencia media.

Answer 4

Permite simplificar más este problema sin matemáticas. Tome este circuito simple que es producir una forma de onda cuadrada con un período de 10 segundos.

El voltaje es como este

y la corriente es

Entonces, el poder de la forma de onda será

Cuando el interruptor está abierto ningún poder es entregado a la resistencia de modo que la energía total es 10 vatios X 5 segundos= 50 Julios, y es la misma que aplicamos 5 vatios en 10 segundos

y esta es la potencia promedio. El voltaje promedio es de 5 voltios y la corriente promedio es de 0,5 amperios. Haciendo un cálculo simple, la potencia media de los resultados de 2.5 Vatios o 25 Julios lo cual no es cierto.

Así que vamos a hacer este truco CON ESTA ORDEN:

1. Primer cuadrado de la tensión (y la corriente)

2. Segundo tomar la media de la plaza

3. Luego tomar la raíz cuadrada de la media de la

El cuadrado de la forma de onda de voltaje será

Y el promedio es de 50 V^2 (no 50^2 voltios). Desde este punto de olvidarse de la forma de onda. Sólo los valores. Raíz cuadrada del valor anterior es 7,071...voltios RMS. Haciendo lo mismo a la actual se encuentra 0,7071..UN RMS Y la potencia media será 7,071 V x 0,7071 A= 5 Vatios

Si se intenta hacer lo mismo con la potencia RMS que el resultado será un meanigless 7,071 Vatios.

Así que la única equivalente de la potencia de calentamiento la potencia media y la única manera de calcular es el uso de los valores rms de voltaje y corriente