coeficiente de $x^{2012}$ en $\frac{1+x}{(1+x^2)(1-x)}$

Question

Tengo problemas con la siguiente pregunta

coeficiente de $x^{2012}$ en $$\frac{1+x}{(1+x^2)(1-x)}$$

lo desglosé como $$(1+x){(1+x^2)}^{-1}{(1-x)}^{-1}$$ y, a continuación, el coeficiente de $x^{2012}$ en esta expresión es igual a

coeficiente de $x^{2012}$ en ${(1+x^2)}^{-1}$ +coeficiente de $x^{2012}$ en ${(1-x)}^{-1}$ +1 $\cdot$ coeficiente de $x^{2011}$ en ${(1+x^2)}^{-1}$ +1 $\cdot$ coeficiente de $x^{2011}$ en ${(1-x)}^{-1}$ .

Por favor, ayúdenme en este sentido. Gracias.

Answer 1

Yo lo reescribiría como $\frac{(1 + x)(1 + x)}{(1 + x^2)(1 - x^2)} = \frac{1 + 2x + x^2}{1 - x^4}$ . Entonces la serie para esto es simplemente $(1 + 2x + x^2)\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^{4n}$ . Entonces el coeficiente de $x^{2012}$ es claramente 1.

Answer 2

$$\frac{1+x}{(1+x^2)(1-x)}=\frac{x}{1+x^2}+\frac{1}{1-x}$$ utilice $${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$$ y que $x\rightarrow -x^2$ $${\frac {1}{1+x^2}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^nx^{2n}$$ multiplicar por $x$ $${\frac {x}{1+x^2}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^nx^{2n+1}$$

la segunda serie no contiene energía $2012$ porque $$2n+1=2012$$ por lo que el coeficiente de $x^{2012}$ es 1