Piedra-Weierstrass para conos

Question

Una versión del Teorema de Stone-Weierstrass afirma: Si A es un subespacio lineal de C(K), el conjunto de funciones continuas sobre un espacio compacto, y si A es una subálgebra que contiene las funciones constantes y separa puntos, entonces A es denso en C(K) respecto a la topología uniforme (o sup-norma). Busco una versión para conos del tipo: si A es un subcono de X, a su vez un cono en C(K), si A es cerrado respecto a productos, y si contiene constantes y separa puntos en K, entonces A es ``denso'' en X. Un ejemplo sería la afirmación de que el conjunto de polinomios no decrecientes en [0,1] es denso en el conjunto de funciones continuas no decrecientes en [0,1]. (¿Es esto cierto?)

Agradecería referencias a tales resultados, o a contraejemplos.

Answer 1

Su ejemplo es cierto porque $A=X\cap H$ con $H$ denso en $C(K)$ y $X$ cerrado.

De todos modos, hay un "teorema de Weierstrass cónico" que es:

Si $S$ es un cono en $C(K)$ t contiene constantes y separa el puntos en $K$ entonces es total en $C(K)$ .

(resulta del hecho de que el tramo lineal de $S$ es un álgebra véase aquí (por desgracia, está en francés)).

Answer 2

Un contraejemplo sencillo al "Cono Piedra-Weierstrass" general es el cono $A$ de todos $C^\infty$ funciones con todas las derivadas (incluida la propia función) no negativas (que una es claramente cerrada bajo multiplicación, contiene constantes y separa puntos) en el cono $X$ de todas las funciones no negativas no decrecientes en $C([-1,1]$ . La razón es que cada $f\in A$ puede extenderse al disco unitario como función analítica y, además, el máximo del valor absoluto de la extensión estará controlado por el máximo del valor absoluto de $f$ en $[-1,1]$ (basta con ver la serie Taylor en $0$ ). Por lo tanto, el cierre uniforme de $A$ también consistirá en trazas de funciones analíticas (en realidad, sólo será $A$ mismo).

Creo que se puede crear algun resultado en direccion positiva aqui que este mas cerca de lo que pediste que la cita de robin pero parece mas facil solo preguntar lo que realmente necesitas.