Por qué $H^2U=UH^2$ implica $H$ et $U$ ¿viajes?

Question

¿Por qué $H^2U=UH^2$ implica $H$ et $U$ conmuta, donde $H$ es una matriz hermitiana y $U$ ¿es una matriz unitaria?

Esto viene del libro 'Theory of Matrices' en p277 http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/gantmacher1.pdf

Ahora sé que la implicación es falsa. Cómo demostrar lo siguiente:

Si una matriz $A$ es normal, es decir $AA^*=A^*A$ entonces el factor polar y unitario de la descomposición polar de $A$ , $A=UH$ conmutar.

PD: En realidad, el libro tenía razón. Olvidé mencionar que H no sólo es hermitiano, sino también semidefinido positivo.

Answer 1

Eso no puede ser cierto. Tome $$H=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)$$ entonces $H^2=1$ sin embargo, conmuta con cualquier cosa $$U=\left( \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{array} \right)$$ es unitario y no conmuta con $H$

Answer 2

El libro no dice lo que usted afirma que dice.

Este particular $H$ puede escribirse como un polinomio en su cuadrado $H^2$ , hecho que es cierto para matrices semidefinidas positivas (como dice el libro en la página que enlazas).

Así $HU = g(H^2)U = Ug(H^2) = UH.$ El resultado no es cierto para Hermitianas arbitrarias $H$ .

Answer 3

Contraejemplo para la parte 2 de la pregunta. Sea $$A=UH=\left( \begin{array}{cc} -i & 0 \\ 0 & i \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)$$ entonces $A A^\dagger = A^\dagger A = 1$ pero $H$ et $U$ todavía no se desplazan.

Puede que el teorema sea que $H$ et $U$ puede ser elegido para conmutar, ya que podría haber cierta libertad en lo que es $H$ y lo que es $U$ .