¿Cómo encontrar las matrices de una representación dadas las matrices de las subrepresentaciones?

Question

Concretamente, hay un pasaje en Dummit y Foote que dice

Supongamos que $V$ es una dimensión finita $FG$ -y $V$ es reducible. Sea $U$ ser un $G$ -invariante. Formar una base de $V$ tomando una base de $U$ y ampliándola a una base de $V$ . A continuación, para cada $g \in G$ la matriz $\varphi(g)$ de $g$ actuando sobre $V$ con respecto a esta base es de la forma

$\varphi(g) = [[\varphi_1(g); \psi(g)][0; \varphi_2(g)]]$ donde $\varphi_1 = \varphi\vert_U$ (con respecto a la base elegida de $U$ ) y $\varphi_2$ es la representación de $G$ en $V/U$ (y $\psi$ no es necesariamente un homomorfismo - $\psi(g)$ no tiene por qué ser una matriz cuadrada). Por tanto, las representaciones reducibles son aquellas con una representación matricial correspondiente cuyas matrices están en forma triangular superior de bloque.

¿Cómo consiguieron esa matriz?

Gracias.

( $\varphi$ es el homomorfismo de $G$ à $Aut(V)$ No estoy seguro de qué $\psi$ es)

Answer 1

Creo que todo lo que están diciendo es que si $U$ es invariante, entonces el bloque inferior izquierdo de la matriz debe ser $0$ ya que los elementos de $U$ sólo tienen entradas en la parte superior en esta base, y esto debe ser invariante bajo la multiplicación por la matriz. Entonces $\psi$ et $\phi_2$ son sólo nuevos nombres para los bloques restantes. Esto sólo tiene sentido si la notación $[[A;B][C;D]]$ representa la matriz

$$ \left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right)\;. $$