El teorema de Arrow y la postemporada

Question

Hay un número de instancias de equipos deportivos que pierden partidos intencionadamente para asegurarse una situación más favorable en una ronda de playoffs. Aunque esto no ocurre con demasiada frecuencia, cuando sucede es normalmente bastante decepcionante incluso para los aficionados de los equipos que ganan y se benefician de la victoria, y desde luego para los aficionados al deporte en general.

Así que sería útil que hubiera un sistema para sembrar la ronda de playoffs que no fuera susceptible de "perder tácticamente". Por desgracia, no se me ocurre ninguna regla de este tipo que parezca justa, siempre que haya más de un equipo en las eliminatorias.

Así que la pregunta, aunque mal definida, es la siguiente: ¿Existe un análogo de Teorema de Arrow ¿para torneos/ligas deportivas? (O quizás más apropiadamente un análogo del teorema relacionado Gibbard-Satterthwaite).

Puedo precisarlo un poco más, pero probablemente no del todo (y puede que haya otras formas de hacer la pregunta más rigurosa). Modelaremos los resultados de la temporada regular como un multigrafo dirigido sobre el conjunto de equipos $S$ con una arista desde $u$ à $v$ para cada equipo de tiempo $u$ equipo derrotado $v$ . ¿Existe una función desde tales multigrafos a listas ordenadas de tamaño $n$ (N.B. que el orden no pretende representar la fuerza relativa de los equipos, sino que es sólo una aproximación a la estructura extra de los playoffs) que satisfaga las siguientes condiciones (aproximadamente definidas):

1. Independencia del camino: Si existe una arista dirigida desde $u$ à $v$ y una arista dirigida desde $v$ à $u$ entonces la función es invariante al intercambiar las direcciones de estas dos aristas.
2. Universalidad. Como mínimo, esta condición debería establecer que para cada multigrafo subyacente $G$ y cada equipo, hay alguna orientación $G'$ del multigrafo tal que ese equipo llegue a los playoffs.
3. Débil independencia de alternativas irrelevantes. Supongamos que $G, G'$ sólo difieren en las orientaciones de las aristas entre $u$ et $v$ . Entonces, si algún equipo $w \in S$ está exactamente en uno de $f(G), f(G')$ uno de $u$ o $v$ debe estar exactamente en uno de $f(G), f(G')$ . (Intuitivamente, esto dice que la única manera de que cambiar el resultado de un partido individual cambie quién está en los playoffs es si hace que uno de los equipos que juegan el partido abandone o entre en los playoffs).
4. No perder tácticamente. Esto es lo más difícil de definir, y la gran razón por la que esta es una pregunta blanda. ¿Hay alguna forma razonable de hacer rigurosa esta condición que conduzca a una teoría del tipo Arrow?

Answer 1

Estoy escribiendo mi tesis doctoral exactamente sobre la siembra en los playoffs.

En primer lugar, estrictamente hablando, puede existir un sistema que elimine por completo la "táctica perdedora". Excluyo el ejemplo dado - un caso en el que sólo un equipo avanza a los playoffs. El sistema que elimina la "derrota táctica" es aquel en el que todos los equipos que participan en la temporada regular también participan en la postemporada y la regla en la postemporada es una "siembra aleatoria", por ejemplo, todas las parejas se pueden formar con la misma probabilidad, independientemente del rendimiento en la temporada regular. Por supuesto, es inaceptable. Es injusto y todos los partidos de la temporada regular son una especie de partidos amistosos sin nada en juego.

Lo importante del ejemplo anterior es que, si sólo permitimos que algunos de los mejores equipos pasen a los playoffs (como ocurre siempre), ni siquiera una siembra aleatoria puede eliminar las "derrotas tácticas". Siempre existe la posibilidad de que un equipo intente eliminar al otro de la postemporada. Creo que el partido entre los San Francisco 49ers y Los Angeles Rams de 1988 es un buen ejemplo. http://en.wikipedia.org/wiki/Match_fixing#Better_playoff_chances .

En mi tesis intento minimizar el riesgo de tentaciones de "perder tácticamente". Propongo una medida de este riesgo (tiene en cuenta el número de tales tentaciones, así como su fuerza). Sugiero un nuevo método de asignación de cabezas de serie en las eliminatorias. La comparación de mi método con otras propuestas se realiza mediante simulaciones de Monte Carlo.

Answer 2

En la primera ronda de playoffs, deja que el primer clasificado elija a su rival. A continuación, se deja que el segundo clasificado elija a su oponente (a menos que ya haya sido elegido por el primer clasificado). Y así sucesivamente.
En la segunda ronda de playoffs, se puede repetir este proceso, o simplemente utilizar el orden en el que se eligieron los encuentros de la primera ronda para determinar la siguiente siembra.
Puede que esto no responda a tu pregunta, ¡pero funciona!

Answer 3

He aquí un intento, que considero una especie de propiedad de monotonicidad.

4. (Monotonicidad) Sea $G'$ obtenerse de $G$ eligiendo $u \in V(G)$ y añadiendo un subconjunto de aristas dirigidas hacia $u$ . Entonces la posición de $u$ en la lista de $G'$ no debe ser superior a su posición en la lista de $G$ .

Esto significa, a grandes rasgos, que un equipo no puede mejorar su posición perdiendo partidos. Piensa en $G$ como los resultados parciales de la temporada hasta el momento (a partir de los cuales debería ser teóricamente posible clasificar ya a los equipos), y pensar en $G'$ como clasificación final al término de la temporada.

Answer 4

Respuesta sencilla: asegúrate de que los equipos están ordenados linealmente en cuanto a habilidad y de que cada resultado de partido respeta el orden. Entonces, cualquier estructura razonable encontrará al mejor equipo y nadie querrá perder estratégicamente.

Esto no es tan descabellado como parece. En el béisbol estadounidense, los mejores equipos ganan alrededor del 60% de los partidos de la temporada regular. En los playoffs, dado que el rival está entre los mejores, se podría pensar que la probabilidad de que el equipo más débil gane un partido es incluso superior al 40%. Así que una serie de 5 ó 7 partidos podría decantarse fácilmente del lado del equipo más débil. La respuesta sencilla es coronar ganador al campeón de la temporada regular (162 partidos). Probablemente sea la respuesta matemática más adecuada, pero eso supone regalar los ingresos de los partidos de los playoffs, algo claramente inaceptable.

Esto indica que hay dos problemas: cada partido no encuentra al mejor equipo, y algunos equipos piensan (con razón o sin ella) que tienen más posibilidades contra un rival concreto de lo que implicaría su posición en la clasificación. El primero puede resolverse con partidos más largos o más numerosos, lo que puede no ser aceptable. El segundo requiere transitividad en la probabilidad de victoria, lo que sospecho que es más cierto de lo que la gente admite, pero sigue sin ser absoluto.