El conjunto derivado es cerrado para cualquier conjunto $A$

Question

Sé que el conjunto derivado de $A$ está cerrado si $A$ está cerrado (como se ve aquí ), pero estoy teniendo muchos problemas para decidir si $A'$ es cerrado para cualquier conjunto dado $A$ .
Mi trabajo hasta ahora: Sé que $A'$ es cerrado si $\forall x \in (A')^C$ Puedo encontrar $U$ , $x\in U$ para que $U \cap(A')=\emptyset$
Quiero conseguir RHS para conseguir que $A'$ está cerrado. Sé que $x \in (A')^C \Longleftrightarrow \exists B$ , $x \in B$ para que $(B \cap A)\backslash \{x \} = \emptyset$ . Quiero ver que este $B$ es el $U$ Estoy buscando, pero no sé cómo hacerlo. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

No puede demostrarlo, ya que no es cierto. Supongamos que $X=\{0,1\}$ dotado de la topología trivial. Entonces $\{0\}'=\{1\}$ pero $\{1\}$ no es un conjunto cerrado.