Por lo tanto, si dejamos que $f_1(x) = 2x^2-1$ y decir $f_{n+1}(x) = f(f_{n}(x))$ entonces algunos gráficos y experimentos parecen indicar que $\lim_{n\to\infty} f_n(2^{-n}x) = \cos(x)$ . Convergen con bastante rapidez para valores pequeños de x, según wolfram $|f_3(2^{-3})-\cos(1)| < .0023$ . ¿Hay alguna manera de probar que este sistema convergerá a Coseno?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tenga en cuenta que $f_n(\cos t)=\cos(2^n t)$ . De hecho, esto es cierto para $n=1$ y si es cierto para $n$ entonces $f_{n+1}(\cos t)= f_1(\cos(2^nt))=\cos(2^{n+1}t)$ . Así, $$f_n(2^{-n}x)=\cos(2^n\arccos(2^{-n}x))$$ Así, para grandes $n$ tenemos $$\eqalign{f_n(2^{-n}x)&=\cos\left(2^n\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin(2^{-n}x)\right)\right)=\cos(2^n\arcsin(2^{-n}x))\cr &=\cos\left(2^n\left(2^{-n}x+\mathcal{O}(2^{-3n})\right)\right)\cr &=\cos\left(x+\mathcal{O}(2^{-2n})\right)=\cos(x)+\mathcal{O}(2^{-2n}) }$$ Esto demuestra que $\lim_{n\to\infty}f_n(2^{-n}x)=\cos x$ y explica por qué esta conergencia es rápida.
