Problema: Se lanza un dado justo de seis caras 30 veces independientes. Sea X el número de unos e Y el número de doses. Encuentre el PMF conjunto y PMF marginal para cada uno.
Mi pregunta: ¿tiene este problema distribución trinomial conjunta y distribución marginal binomial? ¿Y por qué?
La muestra está formada por secuencias de 30 elementos, cada uno de los cuales puede ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Los PMF marginales serán los mismos en ambos casos. Los PMF marginales serán los mismos en ambos casos. Sea $x$ sea el número de unos. En ${30 \choose x}$ formas de seleccionar posiciones para unos. El PMF, por tanto, es $${30 \choose x}(\frac{1}{6})^x(\frac{5}{6})^{30 - x}$$ que es una distribución binomial con $n = 30$ et $p = 1/6$ . Tal vez una forma más intuitiva de explicarlo sea la siguiente: la distribución binomial modela el número de aciertos en un $n$ lanzamientos de una moneda con probabilidad de que el lanzamiento $i$ termina con éxito ya que $p$ . El problema con un dado también se puede modelar así, simplemente trataremos $1$ (o $2$ ) como un acierto y los 5 números restantes como un fallo, lo que matemáticamente equivale a decir que estamos lanzando una moneda al aire con probabilidad de acierto = $1/6$ .
En relación con el PMF conjunto, $\mathbb{P}[X = x, Y = y]$ , tienes ${30 \choose x}$ formas de seleccionar los puestos de $x$ 1s y ${30 - x \choose y}$ formas de seleccionar los puestos de $y$ 2s. Por supuesto, suponemos $x + y \leq 30$ . La distribución que busca es entonces $$\mathbb{P}[X = x, Y = y] = {30 \choose x}{30 - x \choose y}(\frac{1}{5})^{x}(\frac{1}{5})^y(\frac{4}{6})^{30 - x - y}$$ que de hecho es una distribución trinomial.
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