Valores esperados en una distribución uniforme

Question

Tengo que calcular lo siguiente: $$ E[a^{1/2}+b^{1/2}] $$ donde $a=b=\frac{1}{2}\times10^{i}j$ . Tenemos que $i$ es uniforme distribuido, por ejemplo, en $[0,1]$ intervalo y $j$ también es uniforme distribuida en el $[0,1]$ intervalo. Ambos son independientes. Hasta ahora he hasta ahora simplificado esto a: $$ E[2a^{1/2}]=2E[a^{^{1/2}}] $$ $E[a^{1/2}]$ es $E[(\frac{1}{2}\times10^{i}j)^{1/2})$ . Sabemos que $E[g(x,y)]=\int\int g(x,y)f(x,y)dxdy$ . Sustituyendo esto por lo que tenemos, obtenemos que $E[a^{1/2}]=\int\int(\frac{1}{2}10^{i}j)^{\frac{1}{2}}f(i,j)didj$ . Dado que $i$ y $j$ son independientes, obtengo que el se simplifica en $\int\int\frac{1}{4}(10^{i}j)^{\frac{1}{2}}f(i)f(j)didj.$ Además, sabemos que $f(i)=f(j)=\frac{1}{2}.$ Esto se simplifica en $\frac{1}{16}\int\int10^{i}j\, didj$

Después de este punto estoy atascado y no sé cómo proceder. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Como se indica en mis comentarios ahora borrados \begin{align*}\mathbb{E}[B^ab]&=\mathbb{E}[B^a]/2\\&=\frac{1}{2}\int_0^1 B^a \text{d}a\\&=\frac{1}{2}\int_0^1 e^{\log(B)a} \text{d}a\\ &=\frac{1}{2}\frac{1}{\log(B)}\int_0^1 e^{\log(B)a} \log(B)\text{d}a\\&=\frac{1}{2\log(B)}[e^{\log(B)}-1]\\&=\frac{B-1}{2\log(B)}\end{align*} Ahora que la cuestión ha cambiado, $$\mathbb{E}[\sqrt{B^ab}]=\mathbb{E}[\sqrt{B}^a]\mathbb{E}[\sqrt{b}]=\frac{\sqrt{B}-1}{\log(B)}\,\frac{2}{3}$$