Hallar la derivada de $\;\operatorname{arccoth}(\sin x)$

Question

He intentado solucionarlo pero no se porque esta mal. Necesito tomar la derivada de $\;\operatorname{arccoth}(\sin x)$ :

Usando la regla de la cadena, obtengo: $$\dfrac 1{1 - \sin^2 x}\cdot \cos x = \dfrac {\cos x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos x} = \sec x.$$

Pero la respuesta en el libro es $-\csc x$ .

¿Por qué?

Answer 1

Tienes razón en que por la regla de la cadena, tenemos $$\frac d{dx}\Big(\operatorname{arccoth}(\sin x)\Big) = \dfrac 1{1 - \sin^2 x}\cdot \cos x = \dfrac {\cos x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos x} = \sec x.$$

La respuesta en el libro puede estar mal numerada, con la intención de referirse a otro problema del mismo tipo. Tenga en cuenta que si el problema fuera encontrar la derivada de $\,\operatorname {arccoth}( \cos x)$ , entonces puede confirmar que la respuesta sería $-\csc x$ .

Pero la respuesta correcta a su problema publicado de encontrar la derivada de $\;\operatorname{arccoth}(\sin x)\,$ es, de hecho, $\sec x.$