Encontrar funciones tales que $f(x)=f(|x|)$

Question

Encontré esta pregunta en la sección "HOTS" de mi libro.

Ahora no se me ocurre ninguna forma de resolverlo analíticamente, así que lo he intentado gráficamente.

Si $f(x)=f(|x|)$ entonces los gráficos $y=f(x)$ y $y=f(|x|)$ también será igual. Ahora la gráfica de $y=f(|x|)$ del gráfico de $y=f(x)$ se obtiene suprimiendo el gráfico de $x-$ y sustituyéndolo por el reflejo de aquel para el positivo $x-$ eje en $y-$ eje.

Usando esta manipulación encontré las siguientes curvas-

$1.$ $y=\alpha$ , $\alpha \in R$

$2.$ $y=x^n-\alpha^n$ , $\alpha \in R$ , $n$ es incluso

$3.$ $y^2+x^2=\alpha^2$ , $\alpha \in R$ , $y\geq 0$ o $y\leq 0$

$4.$ $\displaystyle\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1$ , $y\geq 0$ o $y\leq 0$

$5.$ $\displaystyle\frac{x^2}{\alpha^2}-\frac{y^2}{\beta^2}=1$ , $y\geq 0$ o $y\leq 0$

¿Puede ayudarme con otros ejemplos?

¿Cómo podemos resolverlo analíticamente?

Answer 1

Aunque " $f(x)$ es una función par" puede parecer la solución aceptable, no puede ser la respuesta correcta a la pregunta, sin más hipótesis.

Por ejemplo, si tomamos

$$f(x)=x^2$$

que es una función par es decir tenemos $f(x)=-f(-x)$ tenemos en el plano complejo

$$f(i)=-1 \ne f(|i|)=1$$

Así que el requisito $f(x)=f(|x|)$ no se cumple, para la función par $x^2$ .

En su lugar, cualquier función $f(x)$ de la forma $f(x)=g(|x|)$ donde $g(u)$ es una función genérica, satisface $f(x)=f(|x|)$ debido a la identidad $||x||=|x|$ .

Esta solución: $f(x)=g(|x|)$ es válido también en campo complejo. Además, es válida en cualquier álgebra en la que esté definida la norma (cuaterniones, octoniones,...).

Ejemplos:

$$f(x)=|x|^2$$

$$f(x)=\sin(|x|)$$

$$f(x)=\dfrac{1}{|x|}$$

$$f(x)=\dfrac{\exp(-|x|)}{|x|}$$

$$f(x)=a_0+a_1|x|+a_2|x|^2+...$$

Answer 2

Si $f(x)=f(|x|)$ para todos $x\in\Bbb{R}$ entonces la función $f$ cumple (i) $f(x)=f(x)$ para $x\ge0$ y (ii) $f(x)=f(-x)$ para $x<0$ . Dado que la condición (i) se cumple con cualquier función, esto se reduce a $f(x)=f(-x)$ para $x<0$ . Y $f$ satisface $f(x)=f(-x)$ para $x<0$ sólo si $f(x)=f(-x)$ para todos $x\in\Bbb{R}$ . Por lo tanto, $$\forall x\in\Bbb{R}:f(x)=f(|x|)\iff\text{$ f $ is an even function defined on $ \Bbb{R} $}$$ Más información sobre las funciones pares aquí . Algunos ejemplos comunes son $x^4$ , $\cos(x)$ , $\cosh(x)$ y $|x|$ así como los ejemplos que ya ha citado en su pregunta.