He aquí una colección suelta de respuestas parciales, la mayoría de las cuales abordan una pregunta más sencilla que la que Andy formuló en realidad. Me centro especialmente en la pregunta de Andy en los comentarios "¿podemos clasificar todos los elementos elevables de ${\rm GL}_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ de orden $k$ para un $k$ ?". Por favor, tómese todo esto con un grano de sal, porque estoy improvisando sobre la marcha y ya es tarde por mi parte.
La primera observación es que no creo que restringir el orden del elemento facilite el problema. Eso es porque, supongamos que usted tiene un elemento $X$ de orden $k$ que se eleva desde ${\rm GL}_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ a ${\rm GL}_n(\mathbb{Z})$ . Entonces, para cualquier $A\in {\rm GL}_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ para saber si $AXA^{-1}$ ascensores, es casi seguro que tendrá que determinar si $A$ ascensores. Pero $A$ puede ser de orden arbitrario.
Para solucionarlo, consideraré en su lugar la pregunta: para un determinado $k$ ¿qué representaciones modulares del grupo cíclico de orden $k$ pueden elevarse a integrales. Esto también evita otro problema: que el orden de la elevación podría ser mayor que el del elemento original. Edito: por favor, ignora la última frase. Por inyección de torsión, esto no puede suceder, como señaló vytas.
Un hecho que utilizaré implícitamente todo el tiempo es que si dos representaciones integrales dan lugar a la misma representación racional, entonces sus reducciones tienen las mismas semisimplificaciones.
Caso 1: Supongamos que $k$ es coprimo de $p$ y que el orden de $p$ en $(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^\times$ es $\varphi(k)$ es decir, que la extensión de $\mathbb{F}_p$ obtenida uniendo el $k$ -la raíz de la unidad es lo más grande posible. Esto asegura que "no es más fácil" para una representación de $C_k$ definirse sobre $\mathbb{F}_p$ que sobre $\mathbb{Q}$ (equivalentemente que sobre $\mathbb{Z}$ ). Entonces, por construcción, existe una biyección entre mod $p$ y representaciones integrales indecomponibles de $C_k$ por lo que cualquier representación se eleva. Pero como comenté al principio, eso probablemente no significa que cualquier elemento de orden $k$ ascensores. (¿O no? ¿Puede alguien solucionar este problema?)
Caso 2: Supongamos que $k$ es coprimo de $p$ . El caso anterior debería dar una pista para este otro más general: existe una biyección entre representaciones de $C_k$ sobre una extensión suficientemente grande de $\mathbb{F}_p$ y representaciones sobre una extensión suficientemente grande de $\mathbb{Q}$ . Por ejemplo $k$ es primo, entonces las representaciones racionales irreducibles son la trivial y a $p-1$ -dimensional. Por lo tanto, una representación puede ser levantada si y sólo si los números de copias de todas las representaciones no triviales de $C_k$ en $\mathbb{F}_p(\zeta_k)$ en esta representación son iguales. Nótese que hablar de representaciones elevables, en lugar de matrices me permite ignorar la cuestión muy sutil de las representaciones integrales no isomorfas que se sientan en la racional - todas dan la misma reducción módulo $p$ . Si $k$ es compuesto, se puede realizar un análisis similar.
Caso 3: Supongamos que $k=p$ o $k=p^2$ . Existe una representación modular indecomponible de dimensión $n$ para cada $n$ entre 1 y $p$ . Sus semisimplificaciones son todas sumas de representaciones triviales. Además, si no recuerdo mal, la reducción de cualquier representación integral sentada dentro de la irreducible racional de dimensión $p-1$ sigue siendo indecomponible sobre $\mathbb{F}_p$ . Así, una representación es elevable, si y sólo si es una suma directa de representaciones indecomponibles de dimensiones 1 y $p-1$ . Creo que con un poco más de trabajo, el caso $k=p^2$ puede elaborarse de forma similar.
Caso 4: $k$ es divisible por $p^3$ . Aquí se desata el infierno, porque ahora hay infinitas clases de isomorfismo de representaciones integrales indecomponibles y pueden tener rangos arbitrariamente grandes. Nadie sabe cómo clasificarlas, así que es inútil intentar enumerar sus reducciones. Sin embargo, como estás fijando la dimensión $n$ hay buenas noticias:
Teorema de Jordan-Zassenhaus: existen sólo finitamente muchas clases de isomorfismo de representaciones integrales que dan lugar a cualquier representación racional dada.
Si no recuerdo mal, la prueba las construye por ti (se divide en dos partes: primero muestra que sólo hay finitamente muchas clases de isomorfismo en cada género (es decir, representaciones integrales que son localmente isomorfas en todas partes) y luego muestra que hay finitamente muchos géneros en cualquier representación racional dada). Así, para cualquier $n$ y $k$ se puede seguir la demostración para obtener una clasificación de las representaciones integrales y, por tanto, de sus reducciones. Que yo sepa, no hay una descripción uniforme de la respuesta, sólo hay que calcularla en cada caso.
Espero no haberme salido del tema, ya que no he abordado la pregunta.
Para la mayoría de los hechos sobre las representaciones integrales junto con las referencias adecuadas, véase Reiner's excelente artículo de encuesta . El material modular se puede encontrar, por ejemplo, en el libro de Benson o, en los casos en los que me he equivocado, en ninguno.
