Localmente Libre De Poleas

Question

Si $X$ es un local noetherian esquema y $F$ es coherente gavilla, quiero mostrar la siguiente equivalencia:

$F$ es localmente libre de iff su tallo es un servicio gratuito de $O_{X,p}$-módulo para cada $p$$X$.

=> de la siguiente manera a partir de la definición de localmente libre.

<= es difícil para mí: yo no veo cómo combinar finito-tipo de condición en $F$ a nivel local noetherian de la propiedad.

Answer 1

Como el nombre indica, "localmente libre" es un concepto.
Así, podemos asumir que el $X=Spec(A)$, el esquema afín asociado a la noetherian anillo de $A$, e $F=\tilde M$, coherente gavilla asociados a la finitely generadas $A$-módulo de $M$.

La gavilla $F=\tilde M$ es localmente libre si y sólo si el módulo de $M$ es proyectiva.
Y un finitely módulo generado $M$ a través de una noetherian anillo de $A$ es proyectivo si y sólo si todos sus localizaciones $M_{\mathfrak p} \; ( \mathfrak p \in Spec(A)$ $A_{\mathfrak p}$libre de módulos.
Desde un punto de $p\in X$ correspondiente al primer $\mathfrak p \in Spec(A)$ tenemos $\mathcal O_{X,x}=A_{\mathfrak p}$$ F_p=M_{\mathfrak p}$, podemos ver que, efectivamente, libertad de todos los tallos de $F$ implica local gratuito de la dada coherente gavilla $F$.